§ 3. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов

Пусть — подпространство -мерного линейного пространства V и А — линейный оператор из

Определение 1. Пространство называется инвариантным. подпространством оператора А, если для каждого х, принадлежащего элемент также принадлежит

Примерами инвариантных подпространств оператора А могут служить

Определение 2. Число X называется собственным значение оператора А, если существует ненулевой вектор х такой, что

При этом вектор х называется собственным вектором оператора А, отвечающим собственному значению X.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 58. Для того чтобы число X было собственным значением оператора А, необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического уравнения (5.29) оператора А.

Доказательство. Пусть X — собственное значение оператора А и х — собственный вектор, отвечающий этому Перепишем соотношение (5.30) в следующей форме:

Так как х — ненулевой вектор, то из последнего равенства следует, что , т. е.

Поскольку, согласно теореме 5.1,

то из этого равенства и неравенства (5.31) получаем

По определению равняется рангу оператора , Поэтому из неравенства (5.32) следует

Таким образом, если X — собственное значение, то ранг матрицы оператора меньше , следовательно, -корень характеристического уравнения.

Пусть теперь X — корень характеристического уравнения (5.29). Тогда справедливо неравенство (5.32), а следовательно, и неравенство (5.31), из которого вытекает существование для числа X такого ненулевого вектора х, что Последнее соотношение эквивалентно соотношению (5.80). Поэтому X — собственное значение. Теорема доказана.

Следствие. Каждый линейный оператор имеет собственное значение.

Действительно, характеристическое уравнение всегда имеет корень (в силу основной теоремы алгебры).

Справедлива следующая теорема:

Теорема 5.9 Для того чтобы матрица А линейного оператора А в данном базисе была диагональной необходимо и достаточно, чтобы базисные векторы были собственными векторами этого оператора.

Доказательство. Пусть базисные векторы являются собственными векторами оператора А. Тогда

и поэтому матрица А оператора А имеет вид (см. соотношения (5.13) и понятие матрицы линейного оператора)

т. е. является диагональной.

Пусть матрица А линейного оператора А в данном базисе диагональна, т. е. имеет вид (5.35). Тогда соотношения (5.13) примут вид (5.34), а это означает, что — собственные векторы оператора А. Теорема доказана.

Докажем еще одно свойство собственных векторов.

Теорема 5.10. Пусть собственные значения оператора А различны. Тогда отвечающие им собственные векторы линейно независимы.

Доказательство. Применим индукцию. Так как — ненулевой вектор, то для одного вектора утверждение справедливо (один ненулевой вектор является линейно независимым). Пусть утверждение теоремы доказано для векторов . Присоединим к этим векторам вектор и допустим, что имеет место равенство

Тогда, используя свойства линейного оператора, получим

Так как — собственные векторы, то и поэтому равенство (5.37) можно переписать следующим образом:

Согласно Вычитая это равенство из равенства (5.38), найдем

По условию все различны, . Поэтому из (5.39) и предположения о линейной независимости векторов следует, что Отсюда и из (5.36), а также из условия, что - собственный вектор вытекает, что Таким образом, из равенства (5.36) мы получаем, что Это означает, что векторы линейно независимы. Индукция проведена, и доказательство теоремы завершено.

Следствие. Если характеристический многочлен оператора А имеет различных корней, то в некотором базисе матрица оператора А имеет диагональный вид.

Действительно, в рассматриваемом случае, согласно только что доказанной теореме собственные векторы линейно независимы и поэтому могут быть выбраны в качестве базисных. Но тогда по теореме 5.9 в этом базисе матрица оператора А будет диагональной.