7. Итерационный метод П. Л. Чебышева.

Всюду выше при рассмотрении общего неявного метода простой итерации мы предполагали, что итерационный параметр принимает одно и то же постоянное значение. Естественно возникает идея рассмотреть более общий случай, когда в указанном методе значения итерационного параметра зависят от номера итерации. В таком случае последовательность итераций будет определяться не соотношением

а более общим соотношением

При этом, как и выше, В — некоторая легко обратимая квадратная матрица порядка При таком выборе итерационной последовательности для погрешности итерационной схемы получится соотношение

Предположим, что обе матрицы А и В симметричны и положительно определенны. Тогда, как уже отмечалось выше, найдутся положительные постоянные такие, что Будем считать, что эти постоянные и нам заданы и еще раз напомним, что эти постоянные равны соответственно наименьшему и наибольшему собственным значениям задачи Оценим энергетическую норму погрешности

Напомним еще раз, что для симметричной и положительно определенной матрицы В существует симметричная и положительно определенная матрица такая, что Как и выше, договоримся обозначать символом матрицу, обратную к матрице .

Для оценки нормы погрешности сделаем замену, положив При такой замене соотношение для погрешности переходит в следующее соотношение для

где через С обозначена матрица вида Убедимся в том, что квадрат обычной нормы вектора равен квадрату энергетической нормы вектора . В самом деле,

Таким образом, для оценки энергетической нормы достаточно оценить обычную норму У.

Оценим норму Прежде всего заметим, что из неравенств с помощью замены получаются неравенства Последние неравенства эквивалентны тому, что Поскольку кроме того матрица симметрична, то все собственные значения этой матрицы вещественны и расположены на отрезке Последовательно записывая соотношение для номеров мы придем к следующему равенству:

из которого сразу же вытекает, что

Но тогда из равенства вытекает, что где Следовательно, итерационный процесс сходится при условии, что последовательность стремится к нулю, причем тем быстрее, чем меньше величины

Поскольку каждое значение является функцией параметров возникает задача построения оптимального набора итерационных параметров из условия минимума для фиксированного Перейдем к решению этой задачи.

Предположим, что все собственные значения матрицы С лежат на заданном сегменте Учитывая симметрию матрицы С, мы приходим к следующей задаче оптимизации: найти

Поскольку все лежат на отрезке расширяя область по которой берется максимум, мы получим, что

Полученная огрубленная задача имеет более простое решение. Кроме того, при решении такой задачи не используется информация о конкретном расположении собственных значений на отрезке а учитываются лишь границы этого отрезка. Такой подход позволяет построить набор оптимальных параметров для матриц произвольной структуры.

Перейдем к решению указанной огрубленной задачи оптимизации. Положим и заметим, что полином удовлетворяет условию нормировки . С помощью замены переменной

где мы отобразим отрезок в отрезок причем точка переходит в точку

При такой замене рассматриваемая задача оптимизации переходит в следующую задачу: среди всех полиномов степени к, удовлетворяющих условию нормировки найти такой, для которого минимален.

Таким полиномом, как известно, является полином Чебышева , где

Так как

Для вычисления оптимального набора параметров будем исходить из равенства

(мы учли, что ). Приравняем корни полиномов, стоящих в левой и в правой частях этого равенства. Так как полином имеет корни , а полином имеет корни , то учитывая, что получим определены выше).

Итак, оптимальными значениями итерационных параметров будут значения где .

Итерационный процесс с указанным оптимальным набором параметров называется чебышевским.

Мы приходим к следующей теореме.

Теорема 6.4. Если матрицы А и В симметричны и положительно определены и если то чебышевский итерационный процесс сходится, и для погрешности после выполнения итераций справедлива оценка

Если в качестве условия окончания процесса взять для заранее заданной -точности требование то из теоремы 6.4 получается для числа итераций следующая оценка: Сравнивая эту оценку с установленной выше оценкой числа итераций для метода простой итерации получим при условии, что величина мала, что Сравнение этих оценок указывает на преимущество чебышевского метода (в случае, когда величина мала).

Описанный нами чебышевский метод известен еще с начала 50-х годов. Иногда его называют методом Ричардсона.

Следует отметить, что мы изучили этот метод для идеального вычислительного процесса с бесконечным числом знаков, в то время как на ЭВМ вычисления ведутся с конечным числом знаков, в связи с чем имеются числа, являющиеся машинной бесконечностью и машинным нулем. Если в процессе вычислений на ЭВМ появляется число М, превосходящее то происходит аварийный останов машины (авост).

С точки зрения идеального вычислительного процесса значения итерационных параметров можно упорядочить как угодно (любым из способов). Любые две последовательности итерационных параметров с точки зрения идеального вычислительного процесса эквивалентны, ибо для них требуемая -точность достигается за одно и то же число итераций.

Но при вычислении на ЭВМ различные последовательности параметров не эквивалентны. Для одних последовательностей значений может произойти аварийный останов машины вследствие роста промежуточных значений. Для других последовательностей значений аварийного останова машины не происходит, но в связи с немонотонным характером стремления к нулю погрешности т. е. вследствие того, что норма матрицы перехода от итерации к может быть больше единицы, для этой погрешности не справедлива установленная нами для идеальной ситуации оценка.

Вследствие указанных обстоятельств возникает теоретическая проблема — указать такой наилучший закон упорядочения значений при котором для чебышевского метода было бы наименьшим влияние ошибок округления.

Исчерпывающее решение этой проблемы можно найти в книге А. А. Самарского «Теория разностных схем», М., «Наука», 1977 год и далее).