§ 3. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов

В этом параграфе указаны различные методы приведения квадратичной формы к сумме квадратов, т. е. будут указаны методы выбора такого базиса в линейном пространстве по отношению к которому квадратичная форма представляется в следующем каноническом виде:

— координаты х в базисе

Коэффициенты в выражении (7.13) называются каноническими коэффициентами.

Подчеркнем, что мы рассматриваем квадратичные формы в произвольном вещественном линейном пространстве. В § 6 будут изучены квадратичные формы в евклидовом пространстве и будет доказана возможность приведения каждой квадратичной формы к каноническому виду даже в ортонормированном базисе. Исходя из результатов главы 5 в том же § 6 настоящей главы будет получено новое доказательство теоремы о приведении квадратичной формы к каноническому виду в произвольном (не обязательно евклидовом) вещественном линейном пространстве.

Настоящий же параграф посвящен не только доказательству возможности приведения квадратичной формы к каноническому

виду, но и описанию двух методов такого приведения, имеющих большую практическую ценность и широко встречающихся в приложениях.

Так как каждому преобразованию базиса отвечает невырожденное линейное преобразование координат, а невырожденному преобразованию координат — преобразование базиса, то вопрос о приведении формы к каноническому виду можно решать путем выбора соответствующего невырожденного преобразования координат.

1. Метод Лагранжа.

Докажем следующую теорему.

Теорема 7.3. Любая квадратичная форма заданная в n-мерном линейном пространстве с помощью невырожденного линейного преобразования координат может быть приведена к каноническому виду (7.13).

Доказательство. Проведем доказательство теоремы методом Лагранжа. Основная идея этого метода заключается в последовательном дополнении квадратного трехчлена по каждому аргументу до полного квадрата.

Будем считать, что и в данном базисе имеет вид

Убедимся, во-первых, что с помощью невырожденного преобразования координат форму можно преобразовать так, что коэффициент при квадрате первой координаты вектора х будет отличен от нуля.

Если в данном базисе этот коэффициент отличен от нуля, то нужное невырожденное преобразование является тождественным.

В случае, если но отличен от нуля коэффициент при квадрате какой-либо другой координаты, то с помощью перенумерации базисных векторов можно добиться требуемого результата. Ясно, что перенумерация является невырожденным преобразованием.

Если же все коэффициенты при квадратах координат равны нулю, то нужное преобразование можно получить следующим способом. Пусть, например, . Рассмотрим следующее невырожденное преобразование координат:

После этого преобразования коэффициент при будет равен и поэтому отличен от нуля.

Итак, будем считать, что в соотношении Выделим в выражении (7.14) ту группу слагаемых, которые содержат Получим

Преобразуем выделенную группу слагаемых следующим образом:

Очевидно, выражение (7.15) можно теперь переписать так:

где — коэффициенты при полученные после преобразования.

Рассмотрим следующее невырожденное преобразование координат:

С помощью этого преобразования и представления (7.16) для получим

Игак, если форма , то с помощью невырожденного преобразования координат эту форму можно привести к виду (7.17).

Обратимся теперь к квадратичной форме Если эта форма тождественно равна нулю, то вопрос о приведении к каноническому виду решен. Если же форма , то мы можем повторить рассуждения, рассматривая преобразования координат аналогичные описанным выше, и не

меняя при этом координату . Очевидно, такого типа преобразования координат будут невырожденными.

Ясно, что за конечное число шагов мы приведем квадратичную форму к каноническому виду (7.13)

Отметим, что нужное преобразование исходных координат можно получить путем перемножения найденных в процессе рассуждений невырожденных преобразований. Теорема доказана.

Замечание 1. Базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называется каноническим. Отметим, что канонический базис определен неоднозначно.

Замечание 2. Если форма приведена к каноническому виду (7.13), то, вообще говоря, не все канонические коэффициенты X, отличны от нуля. Оставляя в (7.13) лишь отличные от нуля X, и перенумеровывая их заново, получим следующее выражение для

Ясно, что . Так как ранг квадратичной формы по определению равен рангу ее матрицы в любом базисе, то из (7.18) и условия при вытекает, что ранг формы равен Таким образом, число отличных от нуля канонических коэффициентов равно рангу квадратичной формы.