§ 5. Полилинейные формы

Определение. Полилинейной формой векторных аргументов называется числовая функция, определенная на всевозможных векторах линейного пространства и линейная по каждому из аргументов, при фиксированных значениях остальных аргументов.

Простейшим примером полилинейной формы может служить произведение линейных форм

Полилинейная форма называется симметричной (кососимметричной), если для каждых двух ее аргументов и для любых значений этих аргументов выполняется соотношение

Пусть полилинейная форма задана в конечномерном линейном пространстве и пусть базис в Обратимся к разложению, каждого вектора по базисным векторам

Подставляя выражения для по формулам (7.37) в полилинейную форму и используя свойство линейности этой формы по каждому аргументу, получим

Таким образом, значения полилинейной формы в конечномерном пространстве с выделенным базисом, определяются всевозможными значениями этой формы на векторах

Докажем следующее утверждение:

Теорема 7.7. Любая полилинейная кососимметричная форма заданная в n-мерном линейном пространстве с выделенным базисом может быть представлена в виде

где — координаты вектора в базисе

Доказательство. Так как форма является кососимметричной, то для произвольной перестановки индексов имеем

где — число беспорядков в перестановке

В силу кососимметричности формы для двух одинаковых индексов значение равно нулю. Отсюда и из соотношения (7.40) следует, что для рассматриваемого случая соотношение (7.38) примет вид

Сравнивая формулу формулой (1.28) гл. 1 для определителя порядка мы убедимся в справедливости соотношения (7.39). Теорема доказана.