2. Классификация квадратичных форм.

В п. 1 § 2 этой главы (см. определение 2) были введены понятия положительно определенной, отрицательно определенной, знакопеременной и квазизнакоопределенной квадратичных форм.

В этом пункте с помощью понятий индекса инерции, положительного и отрицательного индексов инерции квадратичной формы мы укажем, каким образом можно выяснить принадлежность квадратичной формы к тому или иному из перечисленных выше типов. При этом индексом инерции квадратичной формы мы будем называть число отличных от нуля канонических коэффициентов этой формы (т. е. ее ранг), положительным индексом инерции — число положительных канонических коэффициентов, отрицательным индексом инерции — число отрицательных канонических коэффициентов. Ясно, что сумма положительного и отрицательного индексов инерции равна индексу инерции.

Итак, пусть индекс инерции, положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы соответственно равны . В предыдущем пункте было доказано, что в любом каноническом базисе эта форма может быть приведена к следующему нормальному виду:

где — координаты вектора х в базисе .

1°. Необходимое и достаточное условие знакоопределенности квадратичной формы.

Справедливо следующее утверждение:

Для того чтобы квадратичная форма заданная в n-мерном линейном пространстве была знакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы либо положительный индекс инерции либо отрицательный индекс инерции был равен размерности пространства

При этом, если , то форма положительно определенная, если же , то форма отрицательно определенная.

Доказательство. Так как случаи положительно определенной формы и отрицательно определенной формы рассматриваются аналогично, то доказательство утверждения проведем для положительно определенных форм.

1) Необходимость. Пусть форма положительно определена. Тогда выражение (7.35) примет вид

Если при этом то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами

форма обращается в нуль, а это противоречит определению положительно определенной квадратичной формы. Следовательно,

2) Достаточность. Пусть Тогда соотношение (7.35) имеет вид . Ясно, что причем, если , то , т. е. вектор х нулевой. Следовательно, — положительно определенная форма.

Замечание. Для выяснения вопроса о знакоопределенности квадратичной формы с помощью указанного признака мы должны привести эту форму к каноническому виду.

В следующем пункте мы докажем критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы, с помощью которого можно выяснить вопрос о знакоопределенности формы, заданной в любом базисе без приведения к каноническому виду.

2°. Необходимое и достаточное условие знакопеременности квадратичной формы.

Докажем следующее утверждение:

Для того чтобы квадратичная форма была знакопеременной, необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были отличны от нуля.

Доказательство. 1) Необходимость. Так как знакопеременная форма принимает как положительные, так и отрицательные значения, то ее представление (7.35) в нормальном виде должно содержать как положительные, так и отрицательные слагаемые (в противном случае эта форма принимала бы либо неотрицательные, либо неположительные значения). Следовательно, как положительный, так и отрицательный индексы инерции отличны от нуля.

2) Достаточность. Пусть . Тогда для вектора с координатами имеем , а для вектора с координатами имеем .

Следовательно, форма является знакопеременной.

3°. Необходимое и достаточное условие квазизнакоопределенности квадратичной формы.

Справедливо следующее утверждение:

Для того чтобы форма была квазизнакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения: либо либо

Доказательство. Мы рассмотрим случай положительно квазизнакоопределенной формы. Случай отрицательно квазизнакоопределенной формы рассматривается аналогично.

1) Необходимость. Пусть форма положительно квазизнакоопределенная. Тогда, очевидно, (если бы то форма была бы положительно определенной).

2) Достаточность. Если то и для ненулевого вектора х с координатами имеем — положительно квазизнакоопределенная форма.