3. Изоморфизм групп. Подгруппы.

Примеры, рассмотренные в предыдущем пункте (см примеры 4 и 5, примеры 6 и 7) показывают, что существуют группы, отличающиеся природой своих элементов, но обладающие одинаковыми групповыми свойствами. Такие группы естественно назвать изоморфными.

Сформулируем точное определение этого понятия.

Определение 1. Две группы называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение группы на группу такое, что для любых элементов а и из выполняется условие

Заметим, что если — единица группы — единица группы то Действительно, и умножение на элемент, обратный к показывает, что

Отметим также, что обратное отображение группы на группу для любых элементов х и у из удовлетворяет условию

Кроме того, для любого а из из равенства следует, что обратным к элементу является элемент

Таким образом, изоморфные группы, рассматриваемые абстрактно, без указания природы их элементов, с точки зрения групповых свойств неразличимы.

Замечание 1. Обычно соответствие между изоморфными группами называется изоморфизмом или изоморфным отображением одной группы на другую (конечно, при этом обе группы равноправны).

Замечание 2. Изоморфное отображение группы на себя называется автоморфизмом.

Автоморфизмы группы определенным образом характеризуют ее симметрию.

Если отдельные автоморфизмы группы рассматривать как некоторые элементы, а последовательное проведение автоморфизмов — как произведение соответствующих элементов, то автоморфизмы сами образуют группу (единичным элементом будет тождественный автоморфизм).

Эта группа называется группой автоморфизмов данной группы.

Легко убедиться, что группа автоморфизмов группы (см. пример 6 предыдущего пункта) изоморфна этой же группе.

Важную роль в теории групп играет понятие подгруппы.

Определение 2. Подмножество элементов группы называется подгруппой этой группы, если выполнены условия. 1) если элементы а и принадлежат то и принадлежит если элемент а принадлежит то и обратный элемент также принадлежит

Подгруппа группы рассматриваемая как самостоятельное множество, в котором определена операция умножения по закону композиции из объемлющей группы представляет собой группу.

Проверка этого утверждения не представляет затруднений.

Простейшей подгруппой любой группы является ее единичный элемент. Другим примером может служить подгруппа всех четных чисел в группе относительно сложения всех целых чисел.