ГЛАВА 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

В этой главе исследуются так называемые линейные ото бражения линейных и евклидовых пространств, т. е. такие отображения, при которых образ суммы элементов равен сумме их образов и образ произведения элемента на число равен произведению этого числа на образ элемента. При этом мы будем рассматривать комплексные линейные и евклидовы пространства. Результаты, относящиеся к вещественным пространствам, будут оговорены специально.

§ 1. Понятие линейного оператора. Основные свойства

1. Определение линейного оператора.

Пусть — линейные пространства, размерности которых равны соответственно . Мы будем называть оператором А, действующим из V в отображение вида сопоставляющее каждому элементу х пространства V некоторый элемент у пространства При этом будем использовать обозначение или

Определение. Оператор А, действующий из V в называется линейным, если для любых элементов пространства V и любого комплексного числа X выполняются соотношения:

(свойство аддитивности оператора).

(свойство однородности оператора).

Замечание 1. Если пространство представляет собой комплексную плоскость, то линейный оператор А, действующий из V в называется линейной формой или линейным функционалом.

Замечание 2. Если пространство совпадает с пространством V, то линейный оператор, действующий в этом случае из V в V, называют также линейным преобразованием пространства V.