5. Примеры вычисления определителей.

При конкретном вычислении определителей широко используются формулы разложения по строке или столбцу и следствие 5, позволяющее, не изменяя величины определителя, прибавлять к любой его строке (или столбцу) произвольную линейную комбинацию других его

строк (или столбцов). Особенно удобно использовать формулу разложения по тем строкам (или столбцам), многие элементы которых равны нулю. В частности, если в данной строке отличен от нуля только один элемент, то разложение по этой строке содержит только одно слагаемое и сразу сводит вопрос о вычислении определителя порядка к вопросу о вычислении определителя порядка (минора, стоящего в указанном слагаемом).

Если в данной строке отличны от нуля несколько элементов, отвечающих пересечению этой строки с несколькими столбцами, то, применяя к указанным столбцам следствие 5, мы можем, не изменив определителя, обратить в нуль все элементы данной строки, за исключением одного.

Перейдем к конкретным примерам.

Пример 1. Пусть требуется вычислить следующий определитель четвертого порядка:

Вычитая из первого столбца утроенный последний столбец, будем иметь

Далее естественно разложить определитель по первому столбцу. В результате получим

Теперь в определителе третьего порядка вычтем из второго столбца удвоенный первый столбец. При этом будем иметь

Разлагая, наконец, последний определитель третьего порядка по первой строке, окончательно получим

Пример 2. Вычислим так называемый треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше главной диагонали, равны нулю

Разлагая определитель по последнему столбцу, мы получим, что он равен произведению элемента на треугольный определитель порядка равный

Последний определитель мы снова разложим по его последнему столбцу, в результате чего убедимся в том, что он равен произведению элемента на треугольный определитель порядка Продолжая аналогичные рассуждения, мы придем к следующему выражению для исходного определителя.

Итак, треугольный определитель равен произведению элементов, стоящих на его главной диагонали.

Замечание 1. Если у определителя равны нулю все элементы, лежащие ниже главной диагонали, то этот определитель также равен произведению элементов, лежащих на его главной диагонали (убедиться в этом можно по схеме, изложенной выше но примененной не к последним столбцам, а к последним строкам можно и просто произвести транспонирование А и свести этот случай к рассмотренному выше).

Аналогичным способом устанавливается, что определитель, у которого равны нулю все элементы, лежащие выше (или ниже) побочной диагонали, равен произведению числа и всех элементов, лежащих на этой диагонали.

Пример 3. Обобщением треугольного определителя вто рого порядка может служить определитель порядка следующей блочной матрицы в которой А, В и С — произвольные квадратные матрицы порядка, нулевая квадратная матрица порядка. Убедимся в том, что для указанного

определителя справедлива формула

Привлекая теорему Лапласа, разложим определитель, стоящий в левой части (1.37), по первым строкам. Так как определитель, у которого хотя бы один столбец состоит из нулей, равен нулю, то в формуле разложения (1.31) будет отлично от нуля только одно слагаемое, причем это слагаемое (в силу того, что будет как раз равно .

Замечание 2. Аналогичными рассуждениями легко убедиться в справедливости формулы

(А, В, С и О имеют тот же смысл, что и выше).

Для этого следует разложить определитель, стоящий в левой части (1.38), по последним строкам и учесть, что

Пример 4. Вычислим теперь так называемый определитель Вандермонда

Вычитая первый столбец из всех последующих, будем иметь

Далее естественно произвести разложение по первой строке, в результате чего мы получим

Вычитая теперь из каждой строки предыдущую строку, умноженную на получим

Далее мы можем вынести за знак определителя общий множитель первого столбца, равный общий множитель второго столбца, равный общий множитель столбца, равный . В результате получим

Со стоящим в правой части определителем поступим точно так же, как и с . В результате получим, что

Продолжая аналогичные рассуждения далее, окончательно получим, что исходный определитель (1.39) равен