§ 6. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов

В этом параграфе мы изучим вопрос о выборе такого базиса, в котором квадратичная форма (инвариантная квадратичная функция координат вектора; точно это понятие определяется ниже) имеет наиболее простой вид.

Квадратичные формы подробно изучаются в главе 7. Там будут, в частности, рассмотрены различные способы приведения таких форм к сумме квадратов.

Введем понятие так называемых эрмитовых форм.

Определение. Полуторалинейная форма называется эрмитовой, если для любых х и у справедливо соотношение

Согласно следствию из теоремы 5.11 любая полуторалинейная форма (в том числе и эрмитова) может быть единственным образом представлена в виде

где А — линейный оператор.

Докажем следующие два утверждения, в которых выясняются условия, при которых полуторалинейная форма является эрмитовой.

Теорема 5.25. Для того чтобы полуторалинейная форма являлась эрмитовой, необходимо и достаточно, чтобы оператор А в представлении (5.80) этой формы был самосопряженным

Доказательство. Действительно, если А — самосопряженный оператор, то, используя свойства скалярного произведения, получим

Таким образом, выполнено соотношение (5.79), т. е. форма является эрмитовой.

Если же форма эрмитова, то, опять обращаясь к свойствам скалярного произведения, получим равенства

Таким образом, , т. е. оператор А является самосопряженным. Теорема доказана.

Теорема 5.26. Для того чтобы полуторалинейная форма была эрмитовой, необходимо и достаточно, чтобы функция была вещественной.

Доказательство. Форма будет эрмитовой в том и только в том случае, когда линейный оператор А в представлении (5.80) этой формы является самосопряженным (см. теорему 5.25). Согласно же теореме 5.18, для того чтобы оператор А был самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы для любого х скалярное произведение было вещественным. Теорема доказана.

Введем теперь понятие квадратичной формы.

Пусть — эрмитова форма.

Квадратичной формой, соответствующей форме называется функция

Докажем следующую теорему о приведении квадратичной формы к сумме квадратов.

Теорема 5.27. Пусть — эрмитова форма, определенная на всевозможных векторах х и у n-мерного евклидова пространства V. Тогда в этом пространстве существует такой ортонормированный базис и можно указать такие вещественные числа что для любого х, принадлежащего V, квадратичная форма может быть представлена в виде следующей суммы квадратов координат вектора х в базисе

Доказательство. Так как форма эрмитова, то, согласно теореме 5.25, существует самосопряженный оператор А такой, что

Обратимся теперь к теореме 5.21. По этой теореме для оператора А можно указать ортонормированный базис из собственных векторов этого оператора. Если — собственные значения координаты вектора х в базисе так что

то, используя формулу (5.12) и соотношение получим следующее выражение для

Из (5.83), (5.84) и ортонормированности базиса получим следующее выражение для

Из этого выражения и из соотношения (5.82) получим (5.81). Теорема доказана.

Докажем теперь важную теорему об одновременном приведении двух квадратичных форм к сумме квадратов.

Теорема 5.28. Пусть — эрмитовы формы, определенные на всевозможных векторах х и у n-мерного линейного пространства V. Допустим, далее что для всех ненулевых элементов х из V имеет место неравенство Тогда в пространстве V можно указать базис такой, что квадратичные формы могут быть представлены в следующем виде:

где — вещественные числа, — координаты вектора х в базисе

Доказательство. Так как свойства скалярного произведения и свойства эрмитовой формы при дополнительном требовании о том, что при , формулируются одинаково, мы можем ввести в линейном пространстве V скалярное произведение векторов, полагая

Таким образом, V представляет собой евклидово пространство со скалярным произведением (5.87).

По теореме 5.27 можно указать в V такой ортонормированный базис и такие вещественные числа что в этом базисе квадратичная форма будет представлена в виде (5.85).

С другой стороны, в любом ортонормированном базисе скалярное произведение равное, согласно (5.87), равно сумме квадратов модулей координат вектора х. Таким образом, представление в виде (5.86) также обосновано. Теорема доказана.