§ 2. Матричная запись линейных операторов

1. Матрицы линейных операторов в заданном базисе линейного пространства V.

Фиксируем в линейном пространстве V базис Пусть х — произвольный элемент V и

разложение х по данному базису.

Пусть А — линейный оператор из . Тогда из (5 11) получаем

Полагая

перепишем (5.12) в следующей форме:

Таким образом, если и элемент у имеет координаты

Рассмотрим квадратную матрицу Л с элементами

Эта матрица называется матрицей линейного оператора в заданном базисе

Наряду с ранее указанным способом записи линейного оператора используется при заданном базисе матричная форма записи: причем, если то определяются с помощью соотношений (5.14), а элементы матрицы А вычисляются по формулам (5.13).

Замечание 1. Если оператор А нулевой, то все элементы матрицы А этого оператора равны нулю в любом базисе, т. е. А — нулевая матрица.

Замечание 2. Если оператор А единичный, т. е. то матрица этого оператора будет единичной в любом базисе. Иными словами в этом случае где Е — единичная матрица. В дальнейшем единичную матрицу мы будем обозначать также символом I.

Мы выяснили, что каждому линейному оператору А из при заданном базисе линейного пространства V отвечает матрица А этого оператора. Естественно возникает обратный вопрос — каждой ли данной матрице А при заданном базисе в V можно поставить в соответствие линейный оператор А, матрицей которого будет данная матрица. Важно также выяснить вопрос о единственности матрицы линейного оператора в заданном базисе.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 5.5. Пусть в линейном пространстве V задан базис и пусть — квадратная матрица, содержащая строк и столбцов. Существует единственный линейный оператор А, матрицей которого в заданном базисе является матрица А.

Доказательство. Докажем сначала существование оператора А, Для этой цели определим значения этого оператора

тора на базисных векторах с помощью соотношения (5.13), полагая в этом соотношении а равными соответствующим элементам заданной матрицы А. Значение оператора А на произвольном векторе разложение которого по базисным векторам дается формулой (5.11), определим по формуле (5.12).

Очевидно, построенный оператор линейный и матрицей этого оператора является матрица А.

Единственность оператора А, матрицей которого в базисе является матрица А, следует из соотношений (5.13): с помощью этих соотношений единственным образом определяются значения оператора на базисных векторах.

Замечание 3. Пусть А и В — квадратные матрицы порядка и В — отвечающие им линейные операторы в заданном базисе пространства V. Из доказательства теоремы 5.5 следует, что матрице , где — некоторое число, отвечает линейный оператор (напомним, что А, В и принадлежат ).

Докажем следующую теорему.

Теорема 5.6. Ранг линейного оператора А равен рангу матрицы А этого оператора: .

Доказательство. По определению — линейная оболочка векторов

(см. матричную форму записи оператора и определение ).

Поэтому равен максимальному числу линейно независимых векторов Так как векторы линейно независимы, то, согласно (5.15), максимальное число линейно независимых векторов совпадает с максимальным числом линейно независимых строк , а матрицы А, т. е. с рангом А. Теорема доказана

Пусть А и В — произвольные квадратные матрицы, содержащие строк и столбцов. Из теорем 5.3, 5.4, 5.5 и 5.6 вытекают следующие следствия.

Следствие 1. Ранг произведения А и В удовлетворяет соотношениям

Следствие 2. Обратный оператор для оператора А существует только тогда, когда ранг матрицы А оператора А равен . Отметим, что в этом случае существует также и обратная матрица для матрицы А.