5. Ориентированный объем.

Введем в ориентированном евклидовом пространстве так называемую аффинную систему координат, определив ее как совокупность фиксированной точки О с координатами и базиса Координаты любой точки М в определяются в этом случае как координаты в базисе вектора

Рассмотрим в занумерованную систему из векторов

и рассмотрим всевозможные векторы определяемые соотношениями

при всевозможных удовлетворяющих неравенствам

Множество всех точек М пространства определяемое соотношениями (8.58), образует так называемый n-мерный параллелепипед в натянутый на векторы (8.57).

Ориентированным объемом этого параллелепипеда называется число

При этом координаты дискриминантного тензора в базисе контравариантные координаты векторов в этом же базисе

Термин «ориентированный объем» объясняется тем, что в случае, если векторы (8.57) образуют правый базис, ориентированный объем положителен а в случае левого базиса — отрицателен

Отметим, что при ориентированный объем, вычисляемый для по формуле (8.59), представляет собой обычный объем параллелепипеда, натянутого на векторы взятый со знаком если тройка правая, и со знаком если эта тройка левая.