3. Преобразования Лоренца пространства

Рассмотрим в псевдоевклидовом пространстве галилееву систему координат с базисом . В такой системе координат квадрат интервала имеет вид (8.71), а матрица метрического тензора имеет вид

Перейдем к новой галилеевой системе координат с базисом и выясним условия, которым должны удовлетворять коэффициенты матрицы В преобразования базисных векторов. Так как

и так как матрица метрического тензора в базисе также имеет вид (8.72), то используя формулы преобразования координат метрического тензора, получим следующую систему уравнений для определения коэффициентов матрицы В преобразования базисных векторов (см (8.73); при этом индексы и пробегают значения 0, 1, 2, 3 (см (8.71)):

Соотношения (8.74) можно записать в матричной форме Для этой цели рассмотрим наряду с матрицей В матрицу В, которая получается из В путем изменения знака у элементов последних трех столбцов и последующего транспонирования. Очевидно, соотношения (8.74) можно записать в следующей форме:

где матрица определяется соотношением (8.72) (для сравнения напомним, что матрица С ортогональных преобразований евклидова пространства удовлетворяет соотношению , где — единичная матрица).

Так как то из соотношения (8.75) следует, что т. е.

Обозначим через совокупность всех общих преобразований Лоренца пространства Минковского Из этих общих преобразований выделим те преобразования, которые переводят каждый вектор из Т в вектор, также принадлежащий Совокупность таких преобразований обычно называется преобразованиями Лоренца пространства обозначается символом

Общие преобразования Лоренца, для которых образуют класс так называемых собственных преобразований Лоренца.

Класс несобственных преобразований Лоренца характеризуется соотношением Примером такого преобразования может служить отражение относительно трех пространственных осей;

Пусть В — матрица произвольного несобственного преобразования Лоренца, матрица только что рассмотренного отражения Очевидно, произведение произвольного несобственного преобразования и рассмотренного отражения будет собственным преобразованием с матрицей

Так как , где — единичная матрица, то

Таким образом, всякое несобственное преобразование Лоренца является произведением некоторого собственного преобразования с матрицей В и отражения с матрицей Р.

Пересечение множеств обозначают символом

Некоторые групповые свойства множеств и будут рассмотрены в следующей главе.

В заключение найдем те преобразования которые не меняют координат Ясно, что это будут преобразования двумерного псевдоевклидова подпространства с координатами в котором квадрат интервала вычисляется по формуле

Запишем для рассматриваемого случая формулы (8.74) Получим

Полагая найдем из (8.77) следующие выражения для коэффициентов матрицы преобразования В базисных векторов в базисные векторы

В этих формулах знак выбирается из условия принадлежности преобразования Лоренца классу Не вникая в детали вычислений, запишем окончательные формулы преобразования координат:

Положим в соотношениях Тогда формулы (8.78) перепишутся следующим образом:

Выясним теперь физический смысл константы Допустим, что точка Р неподвижна в системе координат Это означает, что время меняется, а пространственные координаты этой точки постоянны Исследуем вопрос о поведении точки Р относительно системы . Дифференцируя последние три уравнения (8.79) и учитывая, что получим . Поэтому

Следовательно, всякая точка Р, неподвижная в системе координат (а следовательно, и вся эта система координат), движется относительно системы с постоянной скоростью в направлении оси

Итак, где — скорость движения системы относительно системы Отметим, что так как то

Перепишем теперь следующим образом формулы (8.79):

Формулы (8 80) представляют собой формулы перехода от инерциальной системы к другой инерциальной системе . Эти формулы называются формулами Лоренца.