§ 2. Ортонормированный базис конечномерного евклидова пространства

В этом параграфе будут изучаться евклидовы пространства конечной размерности Распространение изучаемых здесь результатов на бесконечномерные евклидовы пространства выходит за рамки этой книги и является предметом специального изучения. (Такие пространства изучаются в главах 10 и 11 выпуска «Основы математического анализа, часть 2».)

1. Понятие ортонормированного базиса и его существование.

В главе 2 было введено понятие базиса -мерного линейного пространства. В линейном пространстве все базисы являлись равноправными, и у нас не было оснований предпочитать один базис другому.

В евклидовом пространстве существуют специальные, особо удобные базисы, называемые ортонормированными базисами. Эти базисы играют ту же роль, что и декартов прямоугольный базис в аналитической геометрии. Перейдем к определению ортонормированного базиса.

Определение. Будем говорить, что элементов n-мерного евклидова пространства Е образуют ортонормированный базис этого пространства, если эти элементы попарно ортогональны и норма каждого из этих элементов равна единице, т. е. если

Для того чтобы установить корректность сформулированного определения, следует доказать, что входящие в это определение элементы образуют один из базисов рассматриваемого -мерного пространства Е, а для этого в силу теоремы 2.5 достаточно доказать, что эти элементы линейно независимы, т. е. что равенство

возможно, лишь когда

Докажем это. Пусть — любой из номеров Умножая равенство (4.11) скалярно на элемент и пользуясь аксиомами скалярного произведения и соотношениями (4.10), мы получим, что

Докажем теперь следующую основную теорему.

Теорема 4,3. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве Е существует ортонормированный базис.

Доказательство. Согласно определению размерности в пространстве Е найдется линейно независимых элементов

Докажем, что можно построить элементов линейно выражающихся через и образующих ортонормированный базис (т. е. удовлетворяющих соотношениям ).

Проведем доказательство возможности построения таких элементов методом математической индукции.

Если имеется только один элемент то для построения элемента с нормой, равной единице, достаточно нормировать элемент , т. е. умножить этот элемент на число обратное его норме Мы получим при этом элемент с нормой, равной единице.

Считая, что — целое число, меньшее предположим, что нам удалось построить элементов линейно выражающихся через попарно ортогональных и имеющих нормы, равные единице. Докажем, что к этим элементам можно присоединить еще один элемент линейно выражающийся через ортогональный к каждому из элементов и имеющий норму, равную единице.

Убедимся в том, что этот элемент имеет вид

где — некоторое вещественное число.

В самом деле, элемент линейно выражается через (в силу того, что он линейно выражается через , а каждый из элементов линейно выражается через )

Отсюда сразу же следует, что при элемент заведомо не является нулевым (ибо в противном случае являлась бы нулевым элементом некоторая линейная комбинация линейно независимых элементов в которой в силу (4.12) отличен от нуля коэффициент при

Далее из того, что элементы попарно ортогональны и имеют нормы, равные единице, и из соотношения (4 12) сразу же вытекает, что скалярное произведение равно нулю для любого номера к равного 1, 2, т.

Для завершения индукции остается доказать, что число можно выбрать так, что норма элемента (4 12) будет равна единице. Выше уже установлено, что при элемент стало быть, и элемент, заключенный в (4.12) в квадратные скобки, не является нулевым.

Стало быть, для того чтобы нормировать элемент, заключенный в квадратные скобки, следует взять число обратным положительной норме этого заключенного в квадратные скобки элемента. При этом норма будет равна единице. Теорема доказана.

Доказанная теорема приводит к следующему осуществляемому шаг за шагом алгоритму построения по данной системе линейно независимых элементов системы попарно ортогональных элементов норма каждого из которых равна единице:

Указанный алгоритм обычно называют процессомортогонализацин линейно независимых элементов

Замечание. Конечно, в каждом -мерном евклидовом пространстве Е существует много ортонормированных базисов. Действительно, если например, строить ортонормированный базис процессом ортогонализации одних и тех же линейно независимых элементов то, начиная процесс ортогонализации с различных элементов мы придем к различным ортонормированным базисам. Ниже, в п. 2 § 7 гл. 7 будет рассмотрен вопрос о том, как связаны между собой различные ортонормированные базисы данного евклидова пространства Е.

Примером ортонормированного базиса может служить декартов прямоугольный базис евклидова пространства всех

свободных векторов или совокупность элементов

евклидова пространства всех упорядоченных совокупностей вещественных чисел со скалярным произведением (4.2).