ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Из элементарного курса и из курса аналитической геометрии читатель знаком с системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными и с системами двух и трех линейных уравнений с тремя неизвестными Целью настоящей главы является изучение системы произвольного числа линейных уравнений с произвольным числом неизвестных.

Мы сначала установим необходимое и достаточное условие существования хотя бы одного решения (или, как говорят, совместности) такой системы, а затем займемся отысканием всей совокупности ее решений.

В § 4 главы 4 будет рассмотрен важный для приложений случай приближенного задания всех коэффициентов системы и ее свободных членов. Для этого случая будет изложен метод регуляризации А. Н. Тихонова, позволяющий найти так называемое нормальное (т. е. наиболее близкое к началу координат) решение указанной системы с точностью, соответствующей точности задания коэффициентов и свободных членов.

В главе 6 будет дано представление о численных (итерационных) методах решения систем линейных уравнений.

§ 1. Условие совместности линейной системы

1. Понятие системы линейных уравнений и ее решения.

В общем случае система линейных уравнений с неизвестными (или кратко линейная система) имеет следующий вид:

При этом через обозначены неизвестные, подлежащие определению (число их не предполагается обязательно равным числу уравнений величины называемые коэффициентами системы, и величины называемые свободными членами, предполагаются известными. Каждый коэффициент системы имеет два индекса, первый из которых указывает номер уравнения, а второй — номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Система (3.1) называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю.

Если хотя бы один из свободных членов отличен от нуля, то система (3.1) называется неоднородной.

Система (3.1) называется квадратной, если число составляющих ее уравнений равно числу неизвестных

Решением системы (3.1) называется такая совокупность чисел которая при подстановке в систему (3.1) на место неизвестных обращает все уравнения этой системы в тождества.

Не всякая система вида (3.1) имеет решения. Так, система линейных уравнений

заведомо не имеет ни одного решения (ибо если бы существовало решение этой системы, то при подстановке этого решения в левых частях обоих уравнений стояли бы одинаковые числа и мы получили бы, что

Система уравнений вида (3.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее не существует ни одного решения.

Совместная система вида (3.1) может иметь или одно решение, или несколько решений.

Два решения совместной системы вида называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств

Совместная система вида (3.1) называется определенной, если она имеет единственное решение.

Совместная система вида (3.1) называется неопределенной, если у нее существуют по крайней мере два различных решения.

Весьма удобно записывать линейную систему (3.1) в матричной форме. Для этого используем введенное в § 1 гл. 1 понятие произведения двух матриц (таких, что число столбцов первой из этих матриц равно числу строк второй из матриц). В качестве

перемножаемых матриц возьмем две матрицы: матрицу

содержащую строк и столбцов и составленную из коэффи ииентов при неизвестных (такую матрицу мы в дальнейшем будем называть основной матрице и системы (3.1)) и матрицу X, содержащую строк и 1 столбец, т. е. один столбец вида

Согласно правилу перемножения двух матриц произведение матрицы (3.2) на матрицу (3.3) представляет собой матрицу, содержащую строк и 1 столбец, т. е. один столбец следующего вида:

Система равенств (3.1) означает, что этот столбец (3.4) совпадает со столбцом

Таким образом, в матричной записи систему (3.1) можно заменить одним эквивалентным ей матричным уравнением

в котором матрицы А, X и В определяются соотношениями (3.2), (3.3) и (3.5). Решение матричного уравнения (3.6) заключается в отыскании такого столбца (3.3), который при заданной матрице (3.2) и заданном столбце правых частей (3.5) обращает уравнение (3.6) в тождество.

В этом и в следующем параграфах мы выясним в отношении линейной системы (3.1) следующие три вопроса:

1) способ установления того, является система (3.1) совместной или нет,

2) способ установления того, является система (3.1) (в случае ее совместности) определенной или нет,

3) способ отыскания единственного решения совместной системы (3.1) (в случае ее определенности) и отыскания всех ее решений (в случае ее неопределенности).