2.2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Математическая модель оказывается пригодной для предсказания результатов реальных экспериментов, если она удовлетворяет следующим двум условиям. Во-первых, в модели должны быть отражены соответствующие физические понятия и их свойства. Во-вторых, свойства модели должны быть не противоречивыми с математической точки зрения и поддаваться математическому анализу.

Мы видели, что реальный случайный эксперимент включает три основных понятия:

1) совокупность всех возможных исходов эксперимента;

2) объединение этих исходов в классы, называемые результатами, которые мы хотим различатъ;

3) относительные частоты, с которыми эти классы появляются в длинной последовательности независимых испытаний при проведении эксперимента.

В математической модели теории вероятностей соответствующие абстракции носят названия:

1) пространство элементарных событий;

2) совокупность событий;

3) вероятностная мера, определенная на этих событиях.

Дальнейшее изложение начинается с определения этих трех математических понятий. Затем строится модель, приписывающая этим понятиям математически непротиворечивые свойства, которые отражают ограничения, существующие в реальном мире. Глава заканчивается рядом примеров, раскрывающих соответствие между нашими абстрактными понятиями и соответствующими им объектами в реальном мире.

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Пространство элементарных событий: некоторая совокупность объектов. Эта совокупность обычно обозначается символом Любой объект из называется элементарным событием и обозначается через Например, может быть совокупностью:

четырех графов, изображенных на фиг. 2.3;

нескольких точек вещественной прямой;

замкнутого интервала [0, 1] вещественной прямой;

всех точек плоскости;

всех функций от времени , определенных на интервале

Пространство элементарных событий соответствует совокупности всех возможных исходов реального эксперимента; каждый исход в свою очередь соответствует некоторому элементарному событию.

Событие: некоторая совокупность элементарных событии. Мы обычно обозначаем события прописными буквами, например или Событие полностью определяется выражением

Фиг. 2.3. Пространство элементарных событий» Каждый граф соответствует элементарному событию .

которое расшифровывается следующим образом: событие А — совокупность всех элементарных событий , удовлетворяющих некоторому условию, наложенному на . Например, если есть плоскость то одно из возможных событий Тогда А есть совокупность всех точек внутри единичной окружности с центром в начале координат. Аналогично если — совокупность всех функций времени, то одним из возможных событий является множество всех функций от времени, таких, что

Поскольку пространство элементарных событий является совокупностью элементарных событий, то само всегда является событием.

События в математических моделях соответствуют результатам экспериментов в реальном мире.

Вероятностная мера: сопоставление действительных чисел событиям, определенным на Вероятность события А обозначается как Условия, которым должно удовлетворять это сопоставление, будут рассмотрены ниже.

Пример 1. Если пространство элементарных событий является совокупностью четырех графов, показанных на фиг. 2.3, и мы определяем событие как граф (элементарное событие), то одним из возможных способов сопоставления вероятностей является следующий:

Пример Если отрезок вещественной прямой и события определяются как то один из способов задания вероятностей состоит в том, чтобы положить

Пример 3. Если совокупность всех функций от времени и мы определяем события как то одним из возможных способов задания вероятностей является следующий:

Вероятность, сопоставляемая событию, соответствует тому значению, около которого, как мы ожидаем, установится относительная частота соответствующего результата в длинной последовательности независимых испытаний при проведении реального эксперимента.

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Задание пространства элементарных событий и событий влечет за собой существование некоторых других определенных совокупностей элементарных событий.

1. Дополнение к А, обозначаемое как событие, содержащее все элементарные события из не вошедшие в А.

2. Объединение А к В, обозначаемое как событие, содержащее все элементарные события, принадлежащие либо А, либо В, либо и тому и другому одновременно.

3. Пересечение обозначаемое как событие, содержащее все элементарные события, принадлежащие одновременно и

4. Событие, не содержащее элементарных событий, называется нулевым и обозначается через 0. Таким образом,

5. Два события называются непересекающимися, если они не содержат общих элементарных событий, т. е. если

Связь между операциями дополнения, объединения и пересечения множеств легко устанавливается геометрически. На фиг. 2.4 события представляют собой совокупности точек, лежащих внутри соответственно обозначенных замкнутых контуров. Такие рисунки называются диаграммами Вепна. Исходя из фиг. 2.4, сразу же заключаем, что

Более того, дальнейшее изучение фиг. 2.4 показывает, что

где три события в правой части последнего равенства не пересекаются.

Фиг. 2.4. Диаграммы Венна.

Операции над событиями, результатами которых являются объединение и пересечение событий, обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности:

СВОЙСТВА

В длинной последовательности независимых испытаний при проведении реального случайного эксперимента результаты и наблюдаемые частоты с которыми эти результаты появляются, удовлетворяют определенным условиям:

1. Относительная частота любого результата удовлетворяет неравенству

2. Каждое из проведенных испытаний имеет некоторый исход.

3. Если два результата взаимно несовместимы, то

Поскольку наша конечная цель состоит в том, чтобы использовать теорию вероятностей для предсказания результатов реальных случайных экспериментов, то представляется разумным, чтобы аналогичные свойства были приписаны соответствующим понятиям и в нашей математической модели. Поэтому мы ограничиваемся рассмотрением только такой вероятностной меры, которая обладает следующими свойствами:

I. Каждому событию соответствует единственное число Р такое, что

Этими свойствами, вытекающими из реальных наблюдений, исчерпываются требования, предъявляемые нами при создании математической модели. Для формального аксиоматического развития теории вероятностей выполнение этих свойств оказывается достаточным в том случае, когда совокупность событий является конечной и определяется таким образом, чтобы в ней содержались дополнения, объединения и пересечения всех событий. (Если совокупность событий бесконечна, то при аксиоматическом развитии теории необходимо точно задать множество событий, определенных на и распространить свойство III на случай объединения бесконечного числа непересекающихся множеств. При таких модификациях расширяется набор теорем, выводимых из аксиом.)

Из свойств можно сразу получить несколько следствий. Поскольку то из свойств II и III следует, что

или

В частности, если то

Далее, поскольку события и не пересекаются, то, согласно свойству III,

Таким образом, в соответствии с равенством получаем