Глава 7. ВАЖНЫЕ МОДЕЛИ КАНАЛОВ

В этой главе мы распространим результаты, полученные в гл. 4—6, на модели каналов, которые более точно аппроксимируют определенные аспекты реальных систем связи. Будут рассмотрены, в частности, каналы с аддитивным гауссовским шумом, который не является белым, и когда для принимаемой компоненты сигнала может быть неизвестно либо затухание, либо фаза, либо то и другое вместе. При изучении этих каналов будут использованы следующие средства: теорема обратимости, обеляющий фильтр, представление узкополосного шума, устранение случайных параметров с помощью интегрирования. Эти средства являются чрезвычайно мощными и могут быть применены к еще более общим моделям каналов, описывающим распространение с изменяющейся во времени дисперсией [49].

7.1. ЭФФЕКТЫ ФИЛЬТРАЦИИ

В гл. 4 мы предполагали, что при передаче на информационную компоненту принимаемого сигнала не воздействовало ничего, кроме прибавляемого к ней белого гауссовского шума. На практике шум никогда в точности не является белым и в некоторых случаях идеализация, использующая белый шум, может оказаться существенно неподходящей. Кроме того, большинство сред, в которых происходит передача, изменяют тем или иным образом форму передаваемых сигналов.

Такие явления часто можно описать как воздействия линейных фильтров на шум, при которых белый шум превращается в «цветной», и их воздействия на сигнал. Вначале мы рассмотрим каналы, содержащие фильтр, передаточная функция которого является известной.

КАНАЛЫ С ФИЛЬТРАЦИЕЙ СИГНАЛА

Канал, изображенный на фиг. 7.1, является простым обобщением канала с аддитивным белым гауссовским шумом, рассмотренного в гл. 4. Для анализа этого канала не требуются новые методы. Линейный фильтр имеет постоянные во времени параметры и, следовательно, может быть описан его импульсным откликом который предполагается известным на приемном конце. В качестве тривиального примера можно было бы нзять

так что

Здесь а — известное затухание, известная задержка.

Процедура нахождения оптимального приемника для канала с аддитивным белым гауссовским шумом и фильтрацией совпадает с процедурой, описанной в гл. 4 для канала без фильтрации. Так как удовлетворяется важное условие, состоящее в том, что однозначно задают то следует лишь добавить надстрочный индекс к каждому сигналу и соответствующему вектору. Таким образом, оптимальный приемник выбирает тогда и только тогда, когда произведение

максимально или (что эквивалентно) тогда и только тогда, когда выражение

максимально, где

Вероятность ошибки зависит от расположения векторов и не зависит непосредственно от самих векторов . В общем случае должны быть определены через профильтрованные сигналы с помощью процедуры Грама — Шмидта, описанной в приложении Не всегда можно избежать этого шага и получить непосредственно из так как одна и та же совокупность ортонормальных функций вообще говоря, не может быть использована для того, чтобы представить как так и

Одна из форм оптимального приемника — это корреляционный приемник, показанный на фиг. 7.2. Так как эталонные сигналы подвергаются фильтрации до того, как будет проведено их коррелирование с такой приемник часто называют «приемником с фильтрацией эталонов».

Оптимальный приемник с согласованными фильтрами показан на фиг. 7.3. В силу того что спектр есть

из следует, что передаточная функция фильтра, согласованного с при задержке равна

Таким образом, каждый из согласованных фильтров реализуется как последовательное соединение фильтра согласованного с и фильтра согласованного с где Так как первый фильтр является общим для всех то выгодно поместить его прямо после канала, как показано на фиг. 7.3. Приемник такой структуры называется «приемником с фильтрацией сигнала». Если (непрофильтрованные) сигналы задаются как

то в соответствии с обсуждением, проведенным в гл. 4, последние каскады приемника могут быть выполнены с помощью лишь фильтров, согласованных

Интересно отметить, что последние каскады приемника с фильтрацией сигнала по форме совпадают с оптимальным приемником для случая белого гауссовского шума, несмотря на то что шум на выходе фильтра, согласованного с каналом, не является белым и передаваемый сигнал искажается. Конечно, отсюда не следует, что вероятность ошибки равна той, которая

(кликните для просмотра скана)

Фиг. 7.4. Включение дополнительной операции между каналом и приемником.

была найдена в случае белого гауссовского шума и отсутствия фильтрации в канале.

Если соотношение между переданным сигналом и принятым сигналом является статистическим, а не функциональным [например, если а в равенстве является случайной величиной], то однозначность соответствия между нарушается и проведенный анализ перестает быть применимым. Такая ситуация рассматривается в разд. 7.3. На практике наше решение рассматривать параметр как случайный или как известный зависит от того, будут ли расположение сигналов векторов и связанные с ним: области решения существенно меняться при изменении параметра в возможном диапазоне его значений (см. обсуждение вопроса о точности компонент в разд. 4.4).

ТЕОРЕМА ОБРАТИМОСТИ

Анализ несколько усложняется в случае, когда линейный фильтр окрашивает белый гауссовский шум до того, как он добавляется к принимаемому сигналу. В этом и некоторых других рассматриваемых случаях мы можем построить приемник в два этапа, как показано на фиг. 7,4. Первый — выполнение операции, превращающей выход канала в новый выход ; второй — построение оптимального приемника, на вход которого подается Ясно, что такая двухэтапная процедура не может приводить к меньшей вероятности ошибки, чем одноэтаппый процесс построения оптимального приемника непосредственно для входа . В действительности может происходить увеличение вероятности ошибки. Однако если существует обратная операция, которая позволяет восстановить по (как это обсуждалось в разд. 4.2), то теорема обратимости утверждает, что вероятность ошибки не должна увеличиваться при двухэтапной процедуре. [Второй этап может состоять в вычислении по и последующем оптимальном приеме ] В наиболее общем виде теорема обратимости утверждает следующее:

Обратимая операция, превращающая в один или большее число сигналов, может быть осуществлена между выходом канала и приемником без изменения минимально возможной вероятности ошибки,

АДДИТИВНЫЙ НЕБЕЛЫЙ ГАУССОВСКИЙ ШУМ

Теорема обратимости может быть непосредственно применена к построению оптимального приемника для канала с аддитивным небелым гауссовским шумом. Предположим, что принятый сигнал есть

где гауссовский шум с нулевым средним значением и спектральной плотностью мощности не являющейся постоянной на всех частотах. При очень слабых ограничениях которые мы можем всегда считать выполненными

Фиг. 7.5. Пример спектральной плотности мощности шума и обеляющего фильтра.

в физической системе, существует линейный фильтр с импульсным откликом и передаточной функцией который имеет реализуемый обратный фильтр и для которого

Если подается на вход этого фильтра, то на выходе его порождается см. (3.114)] гауссовский процесс со спектральной, плотностью мощности

т. е. выход есть белый шум. Фильтр называется обеляющим фильтром. Рассмотрим в качестве примера спектральную плотность мощности

Мы можем положить (что иллюстрируется фиг. 7.5)

Этот фильтр дает на выходе спектральную плотность мощности Один возможный способ построения этого фильтра покцаан на фиг. 7.6, а, где предполагается, что описывают напряжения. Очевидно, что фильтр имеет реализуемый обратный фильтр, а именно фильтр с передаточной функцией

Реализация фильтра показана на фиг. 7.6, б.

Фильтр на фиг. 7.7 определен общим методом, который применим, когда представляется в виде отношения двух полиномов от переменной . Этот метод обсуждается в приложении 7А.

Теперь, когда (обратимый) обеляющий фильтр известен, легко найти оптимальный приемник. Поместим обеляющий фильтр на выходе канала. Так как вход этого фильтра то его выходом будет

(кликните для просмотра скана)

где отклик обеляющего фильтра на вход Последовательное соединение канала и фильтра с передаточной функцией ведет себя как канал с фильтрацией сигнала, в котором действует аддитивный белый гауссовский шум. качестве приемника для с фильтрацией эталонов может быть использован приемник, изображенный на фиг. 7.2, поэтому полный приемник для канала с аддитивным небелым гауссовским шумом будет таким, как показано на фиг. 7.7, а. Этот приемник является оптимальным, так как операция фильтрации обратима.

Поучительно также рассмотреть варианты оптимального приемника с фильтрацией сигнала. Включение обеляющего фильтра требует включения фильтра согласованного с каналом, так что их последовательное соединение имеет передаточную функцию

Последовательное соединение фильтров можно выполнить как один фильтр, что ноказано на фиг. 7.7, б. Мы выбираем достаточно большим так, чтобы этот фильтр (или удовлетворительная его аппроксимация) был реализуем Фильтр пропускает энергию на тех полосах частот, где мощность шума мала, и подавляет энергию на тех полосах частот, где мощность шума велика.