ГАУССОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ НА ВЫХОДЕ ЛИНЕЙНЫХ ФИЛЬТРОВ

В разд. 3.2 и 3.3 было показано, что профильтрованный импульсный шум становится гауссовским, когда число импульсов в секунду становится большим. Более точно, для этого требуется, чтобы было велико среднее число импульсов, появляющихся в течение эффективной продолжительности импульсного отклика фильтра (фиг. 3.16), и чтобы не было существенной зависимости между моментами появления импульсов. Вообще говоря, те же самые соображения позволяют прийти к выводу, что на выходе второго фильтра, последовательно соединенного с первым, как показано на фиг. 3.20, появляется также гауссовский процесс. Единственное требование, которое

Фиг. 3.20. Два последовательных сглаживающих фильтра. Выделешшй пунктиром блок можно рассматривать либо как единственный фильтр с импульсным-откликом и эффективной протяженностью либо как два последовательных фильтра. (Эффективная протяжеииость А отклика фильтра содержащего импульсы, равна нулю; на выходе такого фильтра также появляется импульсный процесс, который, очевидно, не стремится к гауссовскому

при этом должно удовлетворяться, состоит в том, чтобы эффективная продолжительность суммарного импульсного отклика пары последовательна соединенных фильтров была бы снова достаточно большой.

Эти утверждения наводят на мысль о том, что если на вход любого линейного фильтра подается гаусеовский процесс, то на его выходе появится также гауссовский процесс. Хотя формальное доказательство этого факта математически сложно, при его обосновании можно опираться на наблюдение, что входной и выходной процессы и (фиг. 3.20) связаны соотношением

Заменяя этот интеграл приближенно суммой

мы видим, что вывод о том, что является гауссовским процессом, согласуется со свойством гауссовских случайных величин, состоящим в том, что линейная комбинация таких величин есть также величина гауссовская.

Аналогично равенству равенство (3.102) является примером определения нового случайного процесса посредством некоторого определенного действия (свертка с выборочными функциями заданного процесса. Относительная математическая легкость, с которой оперируют с гауссовским шумом в задачах теории связи, объясняется именно тем фактом, что после подачи на вход линейного фильтра гауссовского процесса на выходе его появляется также гауссовский процесс. Это, конечно, не так, если вход не является гауссовским,