КВАНТОВАНИЕ С ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ТОЧНОСТЬЮ

Рассмотрим теперь асимптотическое поведение при стремлении шага квантования к нулю. При этом получим в пределе экспоненциальную оценку относящуюся к векторным каналам без квантования принятого сигнала гораздо более общего типа, чем каналы с аддитивным гауссовским шумом. Действительно, условная плотность распределения вероятностей любой из компонент неквантованного принятого сигнала при условии, что передана компонента сигнала может быть совершенно произвольной. Необходимо лишь, чтобы эта условная плотность распределения вероятностей была непрерывна и одинакова для всех компонент а также чтобы компоненты вектора искажались шумами статистически независимо:

Если каждая компонента квантуется так, как показано на фиг. 6.15, то (фиг. 6.16) получим

где длина интервала квантования. При условии, что все достаточно малы, соотношение (6.64а) можно переписать в виде

Здесь — центральная точка интервала.

Согласно соотношению (6.64б), выражение для определяемое формулой (6.62б), можно записать в виде

Если величину шага квантования устремить к нулю, то в пределе сумма по переходит в интеграл, а приближенное равенство (6.64б) становится асимптотически точным. Таким образом, условия достаточны для получения следующего общего результата, справедливого в случае отсутствия квантования:

где

В частном случае, когда шумы независимые и аддитивные, так что последнее соотношение можно записать в виде

Используя соотношение (6.65в), можно доказать интуитивно ясное утверждение о том, что квантование с очень малым шагом не приведет к ухудшению качества передачи. В качестве примера рассмотрим частный случай использования приемника с квантованием в канале с аддитивным белым гауссовским шумом, по которому передаются двоичные сигналы. Сравним величину которая при использовании приемника с очень малым шагом квантования приближенно равна величине определяемой соотношением (6.65в) с показателем экспоненты вероятности ошибки, полученным при тех же условиях для приемника без предварительного квантования данных.

Положим

и выберем

Для неквантованных гауссовских шумов

Согласно соотношению (6.65в), имеем

Это согласуется с результатом (6.246), полученным для приемника без квантования.

Вычисляя значение в мы использовали оценку которая на первый взгляд кажется очень слабой. Поэтому то, что при значение совпадает с оптимальной оценкой Шеннона может показаться неожиданным. Однако это совпадение находится в согласии с результатами гл. 2, где было показано, что оценка Чернова является экспоненциально точной.