Глава 3. СЛУЧАЙНЫЕ СИГНАЛЫ

До сих пор мы рассматривали задачи выбора оптимального решения относительно того, какое именно сообщение было послано при условии, что входной блок приемника и детектор фиксированы. На схеме фиг. 3.1 эта задача требует от нас только наблюдения квантованного напряжения в точке а или неквантованного напряжения в точке а. Поэтому правило решения, полученное в гл. 2, является оптимальным только в том ограниченном смысле, что оно приводит к наименьшей возможной вероятности ошибки при условии, что мы не можем изменить способ получения в точке а на приемнике напряжения на основе переданного случайного сигнала Для того чтобы построить приемник, оптимальный во всех отношениях, следует вернуться назад и сосредоточить внимание на точках перейдя к изучению задачи выбора решения непосредственно на основе случайных функций от времени, а не просто случайных напряжений.

В этой главе рассматриваются те математические аспекты теории случайных сигналов, которые существенны при исследовании этой задачи. Так же как в гл. 2, основная цель состоит в том, чтобы получить выводы, существенные для технических приложений.

3.1. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Подходящей математической моделью для описания непредсказуемого поведения напряжений оказалось понятие случайной величины определяемой как сопоставление вещественного числа каждой точке пространства элементарных событий, такое, что существует функция распределения вероятностей Непредсказуемые сигналы исследуются аналогичным способом; только теперь вместо одного вещественного числа каждой точке из пространства сопоставляется вещественная функция от времени Подобная ситуации иллюстрируется фиг. 3.2, где показаны конечное пространство элементарных событий состоящее из четырех точек, и четыре сигнала

Посмотрим теперь, каков результат наблюдения этой совокупности траекторий в некоторый момент времени (фиг. 3.2). Поскольку каждой точке , из пространства 12 сопоставлены одновременно некоторое число и некоторая вероятность, то совокупность чисел образует случайную величину. В результате наблюдения сигнала в некоторый другой момент времени появляется уже другая совокупность чисел и, следовательно, другая случайная величина. Таким образом, рассматриваемая совокупность четырех сигналов определяет для каждого из моментов наблюдения некоторую случайную величину.

Вообще говоря, мы интересуемся случаем, когда состоит из бесконечного числа точек и соответственно бесконечной является и совокупность сигналов Например, совокупность может включать

(кликните для просмотра скана)

любую вещественную функцию, определенную при всех Точно так же, как в случае конечного пространства предполагается, что совокупность сигналов совместно с заданными вероятностями определяет для каждого момента наблюдения некоторую случайную величину.

Вероятностная система, состоящая из пространства элементарных событий, совокупности сигналов и вероятностной меры, называется случайным процессом и обозначается символом Отдельные сигналы, образующие случайный процесс называются выборочными функциями, причем выборочная функция, соответствующая точке со, обозначается через Термин случайный процесс и обозначение выборочной функции, связанной с точкой через согласуются с нашей прежней практикой использования термина случайная величина и обозначения ее выборочного значения, связанного с точкой через . Представляется удобным использовать обозначение в двух различных смыслах: во-первых (как и выше), для обозначения случайного процесса и, во-вторых, для обозначения случайной величины, полученной наблюдением случайного процесса в момент времени Там, где смысл обозначения не будет ясен из контекста, мы будем писать или для обозначения случайной величины, наблюдаемой в момент