ГАУССОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

В гл. 2 мы назвали случайную величину гауссовской, если ее характеристическая функция имеет вид функции, входящей в правую часть выражения (3.736). Распространяя это определение на к случайных величин, будем говорить, что некоторый случайный вектор у с нулевым средним значением является гауссовским, если и только если

Иначе мы говорим также, что компоненты вектора у являются совместно гауссовскими случайными величинами. Равенство (3.73а) означает, что сходится при к гауссовской характеристической функции.

Плотность распределения вероятностей гауссовского вектора у с пулевым средним значением определяется посредством обратного преобразования Фурье функции Однако, так же как в одномерном случае, мы должны предостеречь против убеждения о том, что плотность распределения вероятностей нормированной суммы обязательно стремится к гауссовской плотности, когда неограниченно возрастает. Если не содержит импульсов, то такая сходимость действительно имеет место. Однако если в выражение для входят импульсы, то они входят и в выражение для Так же как и в гл. 2, всегда сходится к гауссовской функции распределения только функция распределения (при условии, что существует).

Понятие гауссовского вектора очевидным образом распространяется на векторы с ненулевыми средними значениями. Если это А-мерный вектор со средним значением

то вектор называется гауссовским, если и только если вектор с нулевым средним значением

является гауссовским, т. е. если и только если

Следовательно,

Поскольку в соответствии с определением ковариация величии задается равенством

то матрицы ковариаций векторов х и у совпадают:

(Отметим еще раз, что центральные моменты инвариантны относительно преобразований случайных величин, заключающихся в прибавлении постоянных.) Мы пришли к заключению, что гауссовская характеристическая функция в общем случае есть

где

ПРОЦЕСС ПРОФИЛЬТРОВАННОГО ИМПУЛЬСНОГО ШУМА

Предположение о том, что разумной математической моделью для вектора образованного наблюдениями источника профильтрованного импульсного шума в некоторые моменты времени является гауссовокий случайный вектор, основано на многомерной центральной предельной теореме. Пусть случайный вектор, соответствующий откликам анода на импульс тока в моменты (см. фиг. 3.16):

Так же как в равенствах (известная) импульсная характеристика фильтра, а случайная величина момент появления импульса. Если моменты появления импульсов статистически независимы, а среднее число импульсов, появляющихся в течение эффективной продолжительности импульсного отклика фильтра, очень велико, то из центральной предельной следует, что хорошим приближением для плотности распределения вероятностей величины

является плотность совместного гауссовского распределения.

СВОЙСТВА ГАУССОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Прежде чем перейти к обсуждению вида плотности многомерного гауссовского распределения, полезно рассмотреть некоторые свойства, вытекающие из определения гауссовской характеристической функции. Покажем сначала, что любая совокупность из к совместно гауссовских случайных величин обладает четырьмя свойствами, сформулированными на стр. 150.

Свойство 1. Плотность совместного распределения величин зависит только от их средних значений и центральных моментов

Доказательство основано на том, что гауссовская характеристическая функция зависит только от и матрицы ковариаций с элементами Поэтому обратное преобразование Фурье от функции также зависит только от этих величин.

Свойство 2. Любое подмножество совокупности например , где также образует совокупность совместно гауссовских величин.

Доказательство основано на замечании, состоящем в том, что если

Определение характеристической функции можно записать в виде

Подставляя это выражение в правую часть равенства (3.78а) и отбрасывая слагаемые, равные нулю, снова получаем гауссовскую характеристическую функцию

В частности, этот результат означает, что каждая компонента гауссовского вектора является гауссовской случайной величиной с дисперсией и средним значением

Свойство 3. Величины статистически независимы, если их матрица ковариации является диагональной, т. е. если ковариации равны нулю при

где — символ Кронекера, определяемый равенствами

Для доказательства подставим диагональную матрицу ковариаций

в выражение для характеристической функции:

Произведя обратное преобразование Фурье в соответствии с раяенством получаем

Доказательство закончено. Из равенств (3.80в) следует, что любая совокупность (не обязательно гауссовских) случайных величин является статистически независимой, если совместная характеристическая функция этих величин может быть представлена в виде произведения. Для гауссовских величин возможность представления характеристической функции в виде произведения обеспечивается условием диагональности матрицы ковариаций.

Свойство 4. Пусть совокупность случайных величин, получающихся из посредством преобразования:

где А — некоторая квадратная матрица порядка Тогда у также является совокупностью совместно гауссовских случайных величин.

Доказательство состоит в проверке того, что совместная характеристическая функция у имеет вид гауссовской характеристической функции По определению

Так как гауссовская характеристическая функция, то

Отождествим и соответственно с Во-первых, по определению

Во-вторых, в соответствии с равенствами

Но

откуда после транспонирования получаем

Таким образом,

Подставив равенства (3.83а) и (3.836) в выражение получим

Мы заключаем, что у — результат матричного преобразования гауссовского вектора также является гауссовским вектором.

Рассмотрим частный случай преобразования когда А — квадратная матрица порядка

В этом случае

Таким образом, и, следовательно, произвольная линейная комбинация совместно гауссовских случайных величин являются гауссовской случайной величиной независимо от того, являются ли эти величины статистически независимыми. [Напомним, что ранее уже был получен частный случай этого результата (2.142), состоящий в том, что сумма независимых гауссовских величин является

В матричной алгебре доказывается, что для любой невырожденной матрицы ковариаций существует обратимое преобразование такое, что матрица

является диагональной. Следовательно, любая невырожденная совокупность гауссовских случайных величии всегда может быть преобразована в совокупность статистически независимых гауссовских случайных величин Обратно, преобразование переводит величины в совокупность статистически зависимых величин Преобразование В, приводящее матрицу к диагопальному виду, существует также и в том случае, когда матрица вырождена, однако в этом случае преобразование В необратимо.