ПЛОТНОСТЬ УСЛОВНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Условная вероятность события А при заданном событии В ненулевой вероятности была определена формулой

События часто определяют при помощи случайных величин. Например, пусть х и у — две случайные величины, определенные на пространстве элементарных событий и задающие события

Тогда если знаменатель отличен от нуля, то

Однако если и плотность не обладает импульсом в точке то знаменатель выражения (2.79в) равен нулю и смысл выражения сразу не ясен.

Прежде чем приступить к математическому разбору этого вопроса, рассмотрим подробнее роль, которую играют случайные величины при моделировании реального мира. Случайная величина с непрерывной плотностью распределения вероятностей является удобной моделью некоторого реального эксперимента, если результатом этого эксперимента может быть любое действительное число. Примером подобного эксперимента является измерение напряжения шума в некоторый момент времени В таком физическом эксперименте имеется существенное ограничение на точность измерений; невозможно прочитать показания вольтметра с неограниченной точностью. Поэтому фраза «измеряемое напряжение равно в действительности означает, что результатом эксперимента является напряжение, лежащее в некотором интервале где малое положительное число, отражающее точность вольтметра.

Это различие становится важным, если мы хотим использовать результат такого измерения как условное утверждение. Чтобы сохранить соответствие с физическим представлением, следовало бы ввести в наши математические формулировки величину, аналогичную Так, событием В в соотношении (2.79) могло бы быть событие

которое, вообще говоря, является событием ненулевой вероятности. Выражение (2.79в) тогда переходит в выражение

С математической точки зрения неудобно все время помнить о параметре Если отношение, стоящее в правой части равенства (2.80), лишь слабо зависит от точного значения (малой) величины то проще рассмотреть предел при , даже если при этом будет стремиться к нулю. Таким образом, условная вероятность события А при условии определяется при помощи предела

Преобразуя это выражение, получаем

Равенство (2.816) означает, что услопная вероятность того, что величина лежит в интервале получается в результате интегрирования по

этому интервалу некоторой неотрицательной функции. Более того, в соответствии с равенствами (2.63) и (2.81а) интеграл от этой функции но всей вещественной прямой равен единице, так что выполняются все требования, которым должна удовлетворять плотность распределения вероятностей. Поэтому положим

и назовем плотностью условного распределения вероятностей величины при условии Равенство (2.816) теперь можно переписать в виде

Если плотности, входящие в правую часть равенства (2.82), непрерывны в точке определение плотности условного распределения можно упростить:

или

Равенство (2.83) остается верным и для плотностей, обладающих импульсами в точке т. е. даже в тех случаях, когда с некоторой ненулевой вероятностью. При этом правую часть равенства (2.84а) нужно интерпретировать как отношение значений соответствующих импульсов в числителе и знаменателе. Из равенства (2.83) очевидно, что плотность условного распределения вероятностей совершенно аналогична обычной одномерной плотности.

Взаимосвязь плотностей двумерных распределений вероятностей и плотностей условных распределений вероятностей легко наблюдать графически. Рассмотрим непрерывную плотность совместного распределения, изображенную на фиг. 2.31. Вид плотности условного распределения как функции а ожно установить, рассекая поверхность вертикальной плоскостью, проходящей через прямую Вообще говоря, вид этой функции будет различным при разных значениях Деление на эквивалентно нормированию: площадь под кривой, получившейся в сечении, становится равной единице. Условная функция распределения вероятностей величины при условии которую мы обозначим через равна площади под нормированной кривой в интервале от до .

В качестве примера, иллюстрирующего эти определения, рассмотрим случайные величины заданные гауссовской плотностью совместного распределения вероятностей

В (2.64) мы установили, что

(кликните для просмотра скана)

Аналогично

Таким образом,

Плотность условного распределения вероятностей величины при условии задается равенством (2.77), в котором

Если близок к единице, то плотность условного распределения величины при условии очень велика при а и очень мала при остальных значениях а (фиг. 2.32). Поскольку интеграл от всегда равен единице, то плотность условного распределения стремится к единичному импульсу с центром если

Пр иложения. Полезность понятия плотности условного распределения вероятностей можно продемонстрировать на двух следующих примерах. В качестве первого примера рассмотрим две случайные величины х и у и преобразование

Найдем плотность распределения вероятностей случайной величины

Мы уже рассматривали преобразование вида , где — постоянная величина, и получили [равенство (2.70) в измененных обозначениях]

Этот результат применим к данной задаче, если использовать плотность условного распределения вероятностей. Рассмотрим ту часть пространства элементарных событий, для которой этой области у равно и справедливо равенство (2.86а) с важной оговоркой, что надо явно сформулировать условие:

Плотность совместного распределения величин получаем, умножая обе части равенства (2.866) на

Интегрируя затем по переменной, которую надо исключить, находим в соответствии с равенством (2.63)

В качестве второго примера рассмотрим преобразование

Было установлено, что если где величина, то [см. (2.73)]

Фиг. 2.33. Область, для которой .

Ограничиваясь рассмотрением только той области пространства в которой получаем

Здесь снова существенно отметить, что в обеих частях равенства явным образом указано условие. Умножая обе части равенства (2.88б) на и интегрируя по получаем

Эти результаты могут быть, конечно, выведены также методом преобразования переменных. При условием на плоскости выделяется множество точек на плоскости лежащих ниже прямой , как показано на фиг. 2.33. Вероятность того, что точка попадет в эту область, равна

и, следовательно,