ПРИЛОЖЕНИЕ 8Б. ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ, ОПТИМАЛЬНАЯ В СМЫСЛЕ МИНИМУМА СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ

Задача построения оптимального (т. е. приводящего к минимальной среднеквадратической ошибке) приемника для линейно модулированных сигналов, искажаемых аддитивным белым гауссовским шумом

смотрена в разд. 8.1 с точки зрения теоремы отсчетов. В частности, было найдено [см. (8.63)], что, когда является гауссовским стационарным процессом со спектральной плотностью мощности

оптимальный приемник для

содержит идеальный линейный фильтр с передаточной функцией

Здесь через обозначена спектральная плотность мощности а

— средняя энергия, передаваемая в течение интервала между отсчетами.

Используем теперь методы теории линейной фильтрации, оптимальной в смысле минимума среднеквадратической ошибки [14, 55], для того чтобы получить соотношение другим способом. Хотя то, что оптимальный приемник в этом случае является линейным фильтром, с помощью этих методов установить нельзя, они все-таки приводят к доказательству того, что передаточная функция, представленная равенствами является наилучшей в классе всевозможных линейных приемников. Вместе с тем эта теория может быть использована для исследования степени ухудшения характеристик системы, возникающего из-за требования физической реализуемости в случае, когда накладывается дополнительное ограничение, состоящее в том, что импульсный отклик, соответствующий должен удовлетворять условию

Удобно сформулировать задачу линейной фильтрации, минимизирующей среднеквадратическую ошибку, в довольно общем виде. Пусть сигнал, который желательно выделить, сигнал на входе линейного фильтра с импульсным откликом Требуется найти такую функцию чтобы выход фильтра минимизировал среднеквадратическую ошибку:

Ограничение (8Б.4) учитывается в записи

где область интегрирования I состоит из интервала если фильтр должен быть физически реализуемым. В противном случае в качестве нужно взять интервал

При определении наилучшего линейного фильтра нет необходимости требовать, чтобы оба процесса были гауссовскими. Предположим, что оба процесса являются стационарными в широком смысле с известными корреляционными функциями и что совместная корреляционная функция является стационарной в широком смысле и известной:

Фиг. 8Б.1. Задача передачи сообщения, в которой теорию линейной фильтрации, оптимальной в смысле минимума среднеквадратической ошибки, можно использовать для построения принимающего фильтра

Например, в задаче передачи сигналов, иллюстрированной на фиг. 8Б.1, выход, который желательно выделить, может быть задержанной копией

Тогда

где использовано то, что шумовой процесс, имеющий нулевое среднее значение и не зависящий от Отрицательное значение соответствует предсказанию

Докажем вначале, что оптимально тогда и только тогда, когда результирующая ошибка некоррелирована со входом фильтра во все моменты времени в области I, т. е. тогда и только тогда, когда

Доказательство проводится непосредственно. Пусть фильтр, для которого справедливо соотношение и пусть -любой другой линейный фильтр. Обозначим через выход , а через выход Тогда

Отсюда следует, что

и минимум этого выражения, очевидно, имеет место тогда, когда

Уравнение называется условием Винера — Хопфа. Оставшаяся задача состоит в решении этого уравнения относительно функции которая удовлетворяет этому условию. Представим вначале в виде

Отсюда получаем

или

НЕРЕАЛИЗУЕМЫЕ ФИЛЬТРЫ

Решить уравнение для оптимального фильтра просто, если , т. е. когда допускаются нереализуемые фильтры Рассмотрев преобразование Фурье обеих сторон этого уравнения, получим

где является преобразованием Фурье функции и представляет собой совместную спектральную плотность процессов Отсюда передаточная функция оптимального линейного фильтра имеет вид

Равенство представляет собой общий результат, применимый к любому случаю, в котором функции являются известными.

Легко показать, что сводится к в том частном случае, когда отождествляется с принимаемым сигналом в При этом имеем

и

Отсюда следует, что

и

Поэтому

или

Вспоминая, что получаем

что согласуется с

РЕАЛИЗУЕМЫЕ ФИЛЬТРЫ, БЕЛЫЙ ПРОЦЕСС НА ВХОДЕ

Решение уравнения (8Б.11) для оптимального фильтра становится более сложным, когда т. е. когда требуется, чтобы фильтр был реализуемым. Простейшим частным случаем является в котором белый шум, имеющий, например, спектральную плотность так что

При этом уравнение принимает вид

откуда следует, что

Простое, хотя и кажущееся на первый взгляд искусственным, приложение имеет место, когда задается равенством и

где стационарный процесс и

Предполагая, что процесс статистически не зависит от процесса получаем

Если предположить в дальнейшем, что сигнал, который желательно получить на выходе приемника, является задержанной копией как указано в равенстве то задается равенством хотя шум теперь не является белым. Положив равным будем иметь

Так как , то равенство можно также переписать в виде

Как показано на фиг. 8Б.2, когда возрастает, стремится к (задержанному) импульсному отклику прямоугольного низкочастотного фильтра с усилением

что опять-таки согласуется с Это согласие отражает то обстоятельство, что шум, лежащий вне полосы оказывается несущественным

Фиг. 8Б.2. Задержанный импульсный отклик идеального низкочастотного фильтра; оптимальная реализуемая аппроксимация получается, если стереть иунктирный участок кривой слева от

в пределе при Введение задержки вызвано требованием физической реализуемости. Если значение отрицательно, то сигнал на выходе фильтра, описываемого равенством является оптимальным в смысле минимума среднеквадратической ошибки при линейном предсказании значения, которое примет на сек позже.

СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА

Среднеквадратическая ошибка оптимального линейного фильтра может быть получена следующим образом. Запишем вначале

где второе равенство следует из условия

Поэтому

Принимая во внимание получаем

Например, в случае, приводящем к будем иметь

Поэтому

Фиг. 8Б.3. Значение интеграла

Интеграл, входящий в равенство графически изображен на фиг. 8Б.3 как функция нормированной задержки Когда возрастает, интеграл стремится к единице. Это значит, что отношение сигнал/шум

сходится к значению, которое получается с нереализуемым фильтром

Отсюда видно, что для того, чтобы получить значение очень близкое к предельному значению, величина не обязательно должна быть больше единицы. Использование несколько искусственной спектральной плотности мощности позволяет из фиг. 8Б.3 установить нижнюю границу для значений достижимых с помощью реализуемых фильтров, когда . Для всех ясно, что увеличение вне полосы может только снизить Вместе с тем отношение случае белого шума не может превысить предельное значение Таким образом, получены точные верхняя и нижняя границы для при белом аддитивном шуме и

Ошибка, остающаяся при называется «неснижаемой». Положив в и введя согласно можно убедиться в том, что неснижаемая ошибка равна

Равенство справедливо независимо от того, является ли процесс белым или нет.

НЕБЕЛЫЙ ПРОЦЕСС x(t)

Когда небелый процесс и можно использовать обратимый обеляющий фильтр (ср. приложение 7А), чтобы на первом этапе оптимальной линейной фильтрации обелить без ухудшения достижимых характеристик. Пусть выход обеляющего фильтра. При этом

Фиг. 8В.4. Предварительное обеление.

как показано на фиг. 8Б.4, можно завершить процесс оптимальной фильтрации, присоединяя оптимальный фильтр, строящий оценку по . Этот фильтр снова описывается равенством в которое вместо следует подставить Та же подстановка дает возможность использовать для оценки результирующей среднеквадратической ошибки.