5.6. ФУНКЦИИ НАДЕЖНОСТИ

В разд. 5.4 мы показали, что средняя по ансамблю вероятность ошибки в случае передачи по каналу с аддитивным белым гауссовским шумом удовлетворяет неравенству

где длина кодового блока, скорость в битах на измерение. При выводе соотношения использовался тот простой факт, что вероятность объединения событий не превышает суммы вероятностей этих событий.

Из неравенства следует, что при может быть достигнута произвольно малая вероятность ошибки. В разд. 5.5, используя более тонкие методы оценки, мы доказали теорему о пропускной способности канала, утверждающую, что произвольно малая вероятность ошибки может быть достигнута, если и только если Теорема о пропускной способности канала сильнее в том смысле, что . В некотором другом смысле, однако, оказывается более сильным неравенство Дело в том, что, зная можно найти верхнюю оценку вероятности ошибки как функцию тогда как знание только этого не позволяет.

Более полная информация о достижимой помехоустойчивости, чем та, которая содержится в или заключена в функции, называемой функцией надежности канала. Ниже мы найдем функцию надежности гауссовского канала с белым шумом и бесконечной шириной полосы частот. Для этого получим оценку достижимой вероятности ошибки при передаче блоков ортогональными сигналами, используя несколько более тонкие методы оценки, чем просто метод, основанный на аддитивной оценке.

ПЕРЕДАЧА БЛОКОВ ОРТОГОНАЛЬНЫМИ СИГНАЛАМИ

Для случая передачи одного из равновероятных ортогональных сигналов энергии по каналу с аддитивным белым гауссовским шумом, спектральная плотность мощности которого равна аддитивную оценку (5.14а) можно записать в виде

где по определению

Величина является пределом определяемой соотношением пропускной способности канала с белым гауссовским шумом (в битах за секунду), когда допустимое число измерений в 1 сек и, следовательно, ширина полосы частот канала стремятся к бесконечности, и о остаются постоянными.

Согласно вероятность, ограниченная неравенством (5.95а), точно равна где

Оценим теперь сверху проводя рассуждения несколько более точно, чем при нахождении оценки вероятности объединения событий.

Предварительно пронормируем произведя замену переменных

где

и

Таким образом, вероятность ошибки следующим образом выражается через функцию [см. ]:

Выражение в фигурных скобках есть вероятность того, что хотя бы одна из (независимых) составляющих вектора шума превысит а. Используя соображения аддитивного характера, получим, что эта вероятность не больше суммы вероятностей того, что отдельные составляющие превысят а:

Так как левая часть (5.98а) — это вероятность, то она не превышает единицы:

При малых а и, следовательно, больших лучше использовать оценку (5.986); при больших а лучше использовать (5.98а). Поэтому область интегрирования удобно разбить на две части; при этом получим

Здесь мы, используя (2.122) и условие оценили сверху величиной Обозначив первый интеграл через второй через , получим

Правая часть принимает минимальное значение при а, являющемся решением уравнения

откуда

Теперь необходимо оценить

Отсюда

Кроме того,

откуда

[Важный этап при выводе неравенства (5.102) — найти значения а, при которых эти неравенства имеют Подставляя (5.102) и (5.101) в соотношение и заменяя, согласно (5.100), на , получим

Для завершения оценки вероятности необходимо упростить . Так как

при то второе слагаемое в оценке не меньше первого. При показатели экспонент для обоих слагаемых совпадают. Поэтому

Подставив сюда

выразим оценку (5.104) через первоначальные параметры рассматриваемой задачи связи:

где

Именно соотношение (5.106) мы и хотели получить: коэффициент в показателе экспоненты называется функцией надежности канала. Нормированный график приведен на фиг. 5.28. Отметим, что совпадает с коэффициентом в показателе экспоненты аддитивной оценки при

Фиг. 5.28. Функция надежности канала при передаче ортогональными сигналами.

но больше его при . Равенство при согласуется с тем, как пропускная способность канала ограни чивает возможности передачи.

Можно показать что приведенная выше оценка является экспоненциально точной; это означает, что ни при каких скоростях передачи величину в неравенстве (5.106а) нельзя заменить большей так, чтобы при больших это неравенство не нарушалось. Математически это утверждение можно записать так:

где коэффициент В может убывать лишь сравнительно медленно (не экспоненциально) с возрастанием Хотя соотношение (5.106в) сформулировано лишь для случая ортогональных сигналов, оно остается верным также и для любой другой совокупности сигналов, так как при больших ортогональные сигналы по существу имеют такую же самую помехоустойчивость, что и оптимальные (симплексные) сигналы. Таким образом, функция надежности (5.106б) одновременно является и верхней, и нижней оценкой коэффициента в показателе экспоненты, достижимой вероятности ошибки для канала с аддитивным белым гауссовским шумом и бесконечной шириной полосы частоты.

ДРУГИЕ КАНАЛЫ

Неравенства, аналогичные (5.106а) и могут быть получены для чрезвычайно широкого класса моделей реальных каналов связи [27, 321. В частности, используя несколько более тонкие соображения, связанные с рассмотрением случайного кодирования, можно оценить функцию надежности и получить близкую к оптимальной верхнюю оценку вида

Это неравенство является оценкой вероятности ошибки, усредненной по некоторому ансамблю систем связи, каждой из которых соответствует свой код. Выразив это неравенство через число измерений на одно кодовое слово и допустимое для данного канала число измерений в секунду получим

где

Фиг. 5.29. Типичное поведение функции надежности канала.

Для этих каналов можно найти близкую к оптимальной нижнюю оценку вероятности ошибки вида

Используя соотношения (5.107б) и (5.108), получим

Можно показать, что коэффициенты меняются медленно в зависимости от поэтому функции надежности вычисленные для конкретного канала, представляют собой верхнюю и нижнюю оценки коэффициента в показателе экспоненты вероятности ошибки, достижимой для этого канала. При получении соотношения (5.109) мы воспользовались тем, что неравенство не может быть выполнено одновременно для всех систем ансамбля — существует по крайней мере один код, для которого справедлива верхняя оценка (5.109).

Общий вид функций приведен на фиг. 5.29. Конечно, для различпых каналов значения параметров и различны, однако форма приведенных кривых основном одна и та же . В частности, для всех каналов

Величина называется критической скоростью. Поэтому коэффициент в показателе экспоненты достижимой вероятности ошибки точно известен при скоростях, близких к пропускной способности.

В соотношении (5.110) содержится замечательный результат: связано с поведением вероятности ошибки, усредненной по ансамблю всех Л-символьных кодов, для которых скорость равна тогда как

связано с поведением вероятности ошибки наилучшего возможного кода. Поскольку, как мы знаем, вероятность выбора системы (кода), для которой не превышает из соотношения (5.110) следует, что при скоростях передачи, больших критической скорости, большинство кодов ансамбля экспоненциально оптимальны.

На фиг. 5.29 пунктиром представлена аддитивная оценка:

Коэффициент в показателе экспоненты для рассмотренного ансамбля всегда совпадает с коэффициентом в показателе экспоненты аддитивной оценки при вообще говоря,

Улучшить эту оценку при малых скоростях можно, вычеркнув (т. е. удалив) из ансамбля те системы, для которых вероятность ошибки в основном определяется выбором плохих кодовых слов, а не действием шума в канале. Параметр называется критической скоростью вычеркивания. К сожалению, до сих пор не предложена практическая процедура вычеркивания кодов, позволяющая получить экспоненту «вычеркивания».

Знание кривых и для каждого конкретного канала дает подробную информацию о его помехоустойчивости. Информация, заключенная только в величине менее подробна, но все же чрезвычайно полезна. В частности, из графиков фиг. 5.29 видно, что при аддитивная оценка, даваемая соотношением (5.111), экспоненциально эквивалентна нижней оценке (5.108). Поэтому величина служит характеристикой точности экспоненциального поведения достижимой вероятности ошибки при скоростях, близких к критической.

Очевидно, что однопараметрическое описание намного проще, поэтому при изучении способов кодирования следующей главе мы сосредоточим внимание основном на параметре