8.4. ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ КАНАЛА

Было показано, что, используя схемы нелинейной модуляции, можно понизить среднеквадратическую ошибку ценой введения порогового эффекта. Для ИЧМ (или ВИМ) - приемников максимального правдоподобия удалось

использовать аддитивную границу для того, чтобы установить относительно простые количественные взаимозависимости между величинами среднеквадратической ошибки и порогового эффекта в условиях, когда задается максимальная энергия предназначенная для передачи одной (непрерывной) случайной величины, и коэффициент растяжения увеличивается с возрастанием ширины полосы частот, используемой для передачи. В частности, было показано, что имеется тесная взаимосвязь между вероятностью аномалии в случае передачи непрерывного параметра с помощью ИЧМ и вероятностью ошибки при передаче дискретного параметра с помощью ортогональных сигналов.

Вместе с тем в разд. 5.6 было показано, что более точные результаты для некоторых областей значений параметров можно получить с помощью более тонких рассуждений, чем те, которые используют аддитивную границу. Аддитивная граница, примененная к при равновероятных ортогональных сигналах, каждый из которых имеет энергию , представляется неравенством

Однако неравенство (5.106) утверждает также, что

где .

общее время передачи сигнала, а

Здесь — пропускная способность гауссовского канала с бесконечной шириной полосы частот

а мощность сигнала. Неравенства (8.174) и (8.175) экспоненциально эквивалентны при но (8.175) является как более сильным, так и экспоненциально точным для значений больших, чем Функция надежности представленная равенством (8.175в), вновь приведена для удобства на фиг. 8.59.

Совпадение вероятности аномалии и вероятности ошибки для ортогональных сигналов позволяет использовать неравенство (8.175), так же как и неравенство (8.174), для оценки характеристик Нужно только положить равным эффективной размерности множества сигналов для ИЧМ и определить параметр равенством

В обозначениях равенства (8.95а) где максимальное значение девиации мгновенной частоты, когда Так как общее время передачи сигнала то получаем теперь

Как следует из равенства (8.956), имеющего вид

Фиг. 8.59. Функция надежности для ортогональных сигналов в белом гауссовском шуме.

при слабом шуме характеристики приемника максимального правдоподобия обычной ИЧМ описываются параметрическими равенствами

Вообще говоря, можно выбрать любое в допустимом диапазоне и получить желаемое соотношение между Однако практически эффективная размерность пространства сигналов растет экспоненциально вместе с так что наибольшее возможное значение должно быть ограничено доступной шириной полосы частот канала.

Равенство (8.177) означает, что можно уменьшать экспоненциально, увеличивая при постоянной передаваемой мощности. Однако достижимое значение показателя экспоненты ограничено из-за того, что должно быть меньше для малых . В граничном случае получаем

Отсюда видно, что пропускная способность ограничивает характеристики системы при передаче непрерывного параметра так же, как и в случае передачи дискретного параметра.

Приведем сейчас ряд соображений, показывающих, что ИЧМ в некотором смысле является оптимальной схемой модуляции. А именно, покажем, что невозможно передавать непрерывную величину так, чтобы среднеквадратическая ошибка в отсутствие аномалии падала экспоненциально быстрее, чем и одновременно не возникали бы большие вероятности аномалии. Модель, которая будет рассмотрена, является одной из тех, в которых размерность передаваемого сигнала конечна. Таким образом, предположим, что

где дифференцируемые функции совокупность ортонормальных функций. Предположим также, что априорная плотность распределения вероятностей равномерна на интервале и равна нулю везде вне этого интервала.

Определим, сколь быстро при заданном значении максимально допустимой передаваемой энергии может убывать к нулю с ростом среднеквадратическая ошибка при одновременном стремлении к нулю вероятности аномалии.

Когда передаваемый сигнал искажается аддитивным белым гауссовским шумом, так что принимаемый сигнал представляется в виде

существенная часть принимаемого сигнала может быть представлена как -мерный вектор

Компоненты векторов являются проекциями на ортонормальные функции Ограничение энергии означает, что

Так как является переменной величиной, удобно (как и при рассуждениях в разд. 5.5, относящихся к пропускной способности канала) нормировать векторное представление множителем Положим

В этих обозначениях имеем

и

Геометрически возникающая задача передачи сигналов иллюстрируется на фиг. 8.60. Для любого нелинейная кривая должна быть расположена на поверхности или внутри -мерной сферы с радиусом Когда стремится к бесконечности для любого А, вероятность того, что квадрат длины вектора шума больше, чем на величину стремится к нулю. Так же, как в случае дискретной передачи [см. (5.69)], это значит, что в пределе при принимаемый вектор с вероятностью единица будет находиться на поверхности или внутри сферы радиуса

Как уже было отмечено при обсуждении, сопровождавшем равенство (8.82), при слабом шуме и общей длине траектории сигнала наибольшее подавление шума получается, когда для всех Если предположить, что выполняется это условие, то остается лишь установить, сколь большим можно сделать при увеличении и сохранении требования стремления к нулю вероятности аномалии.

При заданном произвольном геометрическом представлении множества сигналов правило приема по максимуму правдоподобия состоит в отображении

Фиг. 8.60. (см. скан) Нормированные -мерные сферы сигналов.

Фиг. 8.61. (см. скан) Аномальные ошибки, возникающие за счет пересечения границы (границы нанесены пунктирными линиями).

принимаемого вектора в точку в которой величина имеет минимальное значение. Таким образом, правило решения сопоставляет каждому элементу объема пространства принимаемых сигналов соответствующий линейный элемент на сигнальной кривой. Как следствие этого любой заданной нелинейной кривой сигналов должна соответствовать такая совокупность границ в пространстве принимаемых сигналов, что малое (непрерывное) приращение переводящее его через границу, приводит к большому (скачкообразному) смещению вырабатываемой приемником оценки передаваемого сигнала. Будем говорить, что аномалия возникает тогда, когда вектор шума пересекает такую границу; это показано на фиг. 8.61.

Задача построения оптимального сигнала состоит в том, чтобы расположить в -мерной сфере радиуса кривую сигналов наибольшей возможной

Фиг. 8.62. (см. скан) Неодтимальные цилиндры.

длины таким образом, чтобы вероятность перехода через какую-либо пороговую границу была минимальной. Вместо того чтобы точно отыскивать это геометрическое представление, поступим так же, как и при рассмотрении дискретных сигналов, и попытаемся установить границу для наилучшей достижимой шумовой характеристики.

В частности, рассмотрим вначале геометрическое место точек сигналов, представляющее собой прямую линию длины Если заключить эту прямую линию в -мерную трубку с общим объемом V, то станет ясно, как этот объем распределить по пространству с тем, чтобы минимизировать вероятность того, что вектор шума пересечет границу трубки: пренебрегая краевыми эффектами, можно сказать, что для каждой точки этой линии пересечение трубки плоскостью, перпендикулярной линии сигналов и проходящей через эту точку, должно быть окружностью заданного радиуса с центром, лежащим на линии сигналов. Другими словами, поперечное сечение трубки в каждой точке должно быть -мерной сферой. Это следует из того, что если бы это условие не выполнялось, то можно было бы придвинуть удаленные элементарные объемы ближе к кривой сигналов, как показано на фиг. 8.62, а для трехмерного случая.

Кроме того, как следует из фиг. 8.62, б, изгибание введенного выше -мерного правильного кругового цилиндра увеличивает вероятность пересечения границы вектором шума Это следует из того, что при заданном вектор можно разложить на две статистически независимые компоненты: одномерную компоненту в направлении

-мерную компоненту перпендикулярную Когда трубка изгибается, ее поперечные сечения, перпендикулярные в точке -теряют сферическую симметрию относительно этой точки и поэтому увеличитается

вероятность выхода из трубки вектора . Таким образом, при заданной длине и ограниченном объеме V прямая линия, которая является осью -мерного правильного кругового цилиндра, будет оптимально расположенным множеством сигналов.

Дальнейшее рассмотрение не представляет трудности. Нормированная перпендикулярная компонента шума содержит статистически независимых компонент, каждая из которых имеет дисперсию Поэтому с вероятностью единица при длина стремится к Это значит, что радиус рассматриваемого правильного кругового цилиндра должен быть по крайней мере равен для того, чтобы вероятность аномалии стремилась к нулю. Точно так же общий объем при нашем расположении, согласно равенствам стремится к

Так как нельзя расположить кривую сигналов длины в сигнальной сфере каким-либо образом, используя имеющийся объем более эффективно, чем в случае правильного кругового цилиндра, то, следовательно, длина не может быть столь велика, чтобы объем цилиндра превысил Таким образом, при достаточно больших значениях для того, чтобы избежать аномалий, следует иметь

в соответствии с этим

Как было отмечено в приложении отношение постоянных эквивалентно при стремлении к бесконечности. Кроме того,

Отсюда следует, что при больших

где

является пропускной способностью гауссовского канала на одно измерение пространства сигналов, которая ранее была введена равенством (5.59).

Равенства (8.188) устанавливают верхнюю границу допустимой длины представления сигналов, когда и заданы, увеличивается и одновременно требуется, чтобы вероятность аномалии стремилась к нулю. Среднеквадратическая ошибка в отсутствие аномалии приближенно задается равенством

При введенных нормировках среднеквадратическое значение длины одномерного вектора будет равно

Поэтому для больших имеем

Равенство (8.189) можно выразить с помощью передаваемой за одну секунду энергии ширины полосы сигнала и общей длительности передачи сигнала Имеем

и

Поэтому получаем

где С — пропускная способность гауссовского канала, выраженная в битах на 1 сек,

Равенства (8.191) представляют собой искомый результат; важно дать их интерпретацию. Ранее было показано, что схемы нелинейной модуляции могут подавлять «слабый» шум ценой введения порогового эффекта. Равенства (8.191) дают асимптотическую границу, которая позволяет судить о том, можно ли рассматривать шум как «слабый». Если попытаться увеличивать длину кривой сигналов (рассматриваемую как функцию от так, чтобы заставить уменьшаться экспоненциально с (отрицательным) показателем, меньшим то шум по необходимости станет «сильным» в том смысле, что станут преобладать пороговые эффекты, и вероятность аномалии будет стремиться к единице. Это возникает даже тогда, когда размерность имеющегося пространства но ограничена. Так как С принимает наибольшее значение, когда величина становится бесконечной и то это значит, что нельзя заставить стремиться к нулю экспоненциально быстрее, чем

эта экспонента является той же, что и наиболее сильная экспонента, достижимая при ИЧМ