ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Электросвязь включает генерацию и преобразование случайных сигналов: сигналы подвергаются модуляции, детектированию, фильтрации и т. д. Вследствие этого в приложениях теории вероятностей к теории связи часто рассматривается образование новых случайных величин путем преобразования некоторых заданных случайных величин. Посмотрим, как вычисляется плотность распределения вероятностей новых случайных величин, полученных в результате некоторого простого (но важного) преобразования. Предположим вначале, что плотности исходных случайных величин не содержат импульсов. Импульсные плотности рассматриваются отдельно в конце этого раздела.

Предположим, что задана случайная величина с плотностью распределения вероятностей Пусть у — новая случайная величина, полученная из действительным кусочно-дифференцируемым преобразованием

Равенство (2.69) следует понимать в том смысле, что каждому элементарному событию сопоставляется число по правилу

Фиг. 2.28. Результат преобразования .

Один из способов получения плотпости по известной плотности с помощью (2.69) состоит в том, что сначала выражают через вероятность множества элементарных событий в результате чего получается функция распределения вероятностей величины у, а затем дифференцированием находится

Преобразование прибавлением постоянной величины. Рассмотрим, например, преобразование

где а — постоянная величина. Совокупность элементарных событий совпадает тождественно с совокупностью . Таким образом,

или

Дифференцируя по а, получаем

Плотность распределения вероятностей — это плотность сдвинутая на а единиц вправо, как показано на фиг. 2.28. Например, если гауссовская величина с плотностью

и , то

Вообще, если случайный вектор , где постоянный вектор, то

и

Преобразование умножением на постоянную величину.

Немного более сложным является преобразование

Если положительная величина, то

или

и, следовательно,

С другой стороны, если отрицательна, то

или

и, следовательно,

Соотношения (2.72а) и (2.726) можно записать как одно равенство

Например, если х — гауссовская случайная величина с плотностью

и , то

Более общие преобразования. Аналогичные соображения применимы также к невзаимно однозначным преобразованиям. Рассмотрим сначала преобразование однополупериодным линейным выпрямителем

иллюстрируемое фиг. 2.29. Используя исходную плотность распределения вероятностей, получаем

Отсюда следует, что для однополупериодного линейного выпрямителя

где ступенчатая функция

Фиг. 2.29. Преобразование однополупериодным линейным выпрямителем.

Второй пример — это преобразование двухполупериодным квадратичным выпрямителем Очевидно,

Отсюда следует, что

Например, если х — релеевская случайная величина с плотностью

(где положительная постоянная) и то

Итак,

Заметим, что случайная величина с экспоненциальной плотностью распределения.

Итерация преобразований, В некоторых случаях удобно (последовательно применить описанные выше приемы для исследования более сложных преобразований. Покажем это на простом примере

Определим новую случайную величину Тогда и

Например, если гауссовская величина с плотностью то

то

Вычисление заменой переменных. Рассмотрим более сложное преобразование. Это преобразование тоже можно исследовать как итерации других преобразований, однако проще поступить по-другому. Пусть

Здесь можно определить по следующим образом:

Перейдем заменой переменных к полярным координатам

так что

Отсюда

и

Например, если

то при

Итак,

Получается случайная величина у, имеющая плотность распределения Релея. Этот метод более тщательно разрабатывается в приложении

Фиг. 2.30. Преобразование импульсной плотности.

Импульсные плотности. Если и плотность содержит импульсы, то нахождение разбивается на два этапа. Сначала, как описано выше, находится компонента соответствующая неимпульсной компоненте , а затем следующим способом получается компонента, соответствующая импульсной части Если содержит импульс то к в точке прибавляется импульс величины .

Например, рассмотрим преобразование однополупериодным выпрямителем, иллюстрируемое фиг. 2.29, и плотность распределения вероятностей, показанную на фиг. 2.30, а,

В соответствии с выражением (2.746) непрерывной части в выражении для соответствуют члены

Импульсу соответствует импульс в плотности Импульсу соответствует импульс в плотности Таким образом, как показано на фиг. 2.30,б,