ПРИЛОЖЕНИЕ 2А. ОБРАТИМЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕКТОРОВ

Преобразование заменой переменных (2.78) является частным случаем обратимого преобразования векторов. Преобразование где х и у представляют собой -мерные векторы, называется обратимымесли оно взаимно

однозначно, т. е. если обратное преобразование также существует для всех рассматриваемых х и у. Например пусть

где некоторая функция от переменных; функция сопоставляет каждому вектору число Это преобразование обратимо, если существует некоторая другая совокупность функций такая, что

Соотношения удобно записывать в сокращенном виде как

Посмотрим, как связаны в случае обратимого преобразования, для которого частные производные и существуют для всех Найдем сначала функцию распределения вероятностей а затем, дифференцируя получим По определению

где область определяется как

Вычисление производной от правой части равенства , которое необходимо провести для определения осложняется тем, что зависимость области I от переменных, по которым производи интегрирование, достаточно сложна. Эту трудность можно избежать, вводя замену переменных

Тогда из существования обратного преобразования следует, что

Область интегрирования I выражается через у просто как

Поскольку можно просто подставить вместо а в подынтегральную функцию в равенстве для проведения замены переменных остается только связать дифференциальные объемы Эта связь задается равенством

где — абсолютная величина якобиана, соответствующего преобразованию По определению якобиан — это определитель

элементы которого

Фиг. 2А.1. Преобразование перехода к полярным координатам.

После замены переменных равенство преобразуется следующим образом:

Вычисление частных производных теперь проводится тривиально, и мы получаем искомую связь между Итак, если случайные векторы у и связаны взаимно однозначным преобразованием то

Более наглядного понимания связи между можно достичь, обратившись к основной интерпретации плотности распределения вероятностей: функция, которая после вычисления ее в точке а и умножения на объем малой области содержащей точку а, равна вероятности того, что принадлежит этой области. Но если лежит в области то должно принадлежать соответствующей области объема которая содержит точку Следовательно,

Поскольку то

Конечно, вообще говоря, объемы и не совпадают; действительно, в соответствии с равенством

Подставляя это выражение в равенство получаем

что согласуется с равенством

В качестве примера применения соотношения рассмотрим переход к полярным координатам задаваемый равенствами

Как показано на фиг. 2А.1, обратное преобразование определяется формулами

Таким образом,

Введем более естественное обозначение , так что

Тогда равенство

запишется в виде

Например, если плотность двумерного гауссовского распределения

то в соответствии с соотношением (2А.10б)

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(кликните для просмотра скана)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)