ПРИЛОЖЕНИЕ 2А. ОБРАТИМЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕКТОРОВ
Преобразование заменой переменных (2.78) является частным случаем обратимого преобразования векторов. Преобразование 
где х и у представляют собой 
-мерные векторы, называется обратимымесли оно взаимно
однозначно, т. е. если обратное преобразование 
также существует для всех рассматриваемых х и у. Например пусть
где 
некоторая функция от 
переменных; функция 
сопоставляет каждому вектору 
число 
Это преобразование обратимо, если существует некоторая другая совокупность функций такая, что
Соотношения 
удобно записывать в сокращенном виде как
Посмотрим, как связаны 
в случае обратимого преобразования, для которого частные производные 
и 
существуют для всех 
Найдем сначала функцию распределения вероятностей 
а затем, дифференцируя 
получим 
По определению
где область 
определяется как
Вычисление производной 
от правой части равенства 
, которое необходимо провести для определения 
осложняется тем, что зависимость области I от переменных, по которым производи 
интегрирование, достаточно сложна. Эту трудность можно избежать, вводя замену переменных
Тогда из существования обратного преобразования 
следует, что
Область интегрирования I выражается через у просто как
Поскольку 
можно просто подставить вместо а в подынтегральную функцию в равенстве 
для проведения замены переменных 
остается только связать дифференциальные объемы 
Эта связь задается равенством
где 
— абсолютная величина якобиана, соответствующего преобразованию 
По определению якобиан — это определитель
элементы которого
Фиг. 2А.1. Преобразование перехода к полярным координатам.
После замены переменных 
равенство 
преобразуется следующим образом:
Вычисление частных производных теперь проводится тривиально, и мы получаем искомую связь между 
Итак, если случайные векторы у и 
связаны взаимно однозначным преобразованием 
то
Более наглядного понимания связи между 
можно достичь, обратившись к основной интерпретации плотности распределения вероятностей: 
функция, которая после вычисления ее в точке а и умножения на объем 
малой области 
содержащей точку а, равна вероятности того, что 
принадлежит этой области. Но если 
лежит в области 
то 
должно принадлежать соответствующей области 
объема 
которая содержит точку 
Следовательно,
Поскольку 
то
Конечно, вообще говоря, объемы 
и 
не совпадают; действительно, в соответствии с равенством 
Подставляя это выражение в равенство 
получаем
что согласуется с равенством 
В качестве примера применения соотношения 
рассмотрим переход к полярным координатам 
задаваемый равенствами
Как показано на фиг. 2А.1, обратное преобразование определяется формулами
Таким образом,
Введем более естественное обозначение 
, так что
Тогда равенство
запишется в виде
Например, если 
плотность двумерного гауссовского распределения
то в соответствии с соотношением (2А.10б)
ЗАДАЧИ
(см. скан)
(кликните для просмотра скана)
