ОТНОШЕНИЕ МОДЕЛИ К РЕАЛЬНОМУ МИРУ

Назначение любой математической модели, применяемой в технике, состоит в том, чтобы дать возможность с помощью вычислений предсказывать реально наблюдаемые результаты. При этом теория вероятностей полезна постольку, поскольку она позволяет делать точные математические утверждения, которые отражают статистическую устойчивость, наблюдаемую в природе. Однако, прежде чем обсуждать вопрос о таком отражении, необходимо построить математическую модель для составного эксперимента, т. е. эксперимента, который является последовательностью независимых повторений некоторого более простого эксперимента. Для этого сначала исследуем более подробно относительные частоты. Наша цель — выявить способ разумного определения вероятностей в математической модели составного эксперимента.

Рассмотрим составной эксперимент, который является последовательностью двух независимых повторений простого эксперимента, один из результатов которого обозначен через А. В составном эксперименте совокупность возможных результатов состоит из четырех совокупностей наблюдений , где первый символ обозначает результат первого испытания, второй — результат второго испытания и . При независимых повторениях составного эксперимента типичная последовательность результатов имеет вид

Помер испытания Результат

Относительная частота отдельного составного результата, например может быть вычислена одним из двух следующих способов. При прямом способе подсчитав а ется число наблюдений которое затем делится на N

Косвенный способ состоит в том, что сначала выбираются (как показано в таблице) все результаты, которые начинаются с и подсчитывается доля выбранных результатов, оканчивающихся на В. Назовем эту долю «условной относительной частотой исхода В во втором испытании при условии, что исходом первого испытания является , и обозначим ее через . В нашем примере Тогда может быть точно найдена также и по формуле

где относительная частота, с которой исход появляется в первом испытании. В нашем примере Оба метода вычисления приводят к результату

Хотя эти рассуждения сами по себе являются тривиальными, сформулированное понятие условной относительной частоты подводит нас к использованию того факта, что различные повторения эксперимента образуют независимые испытания. Независимость испытаний означает, что результат первого простого эксперимента не влияет на результат его повторения. Поэтому, если достаточно велико, мы обычно замечаем, что обе величины устанавливаются около одного и того же числового значения. Следовательно, можно ожидать, что в длинной последовательности независимых повторений пар испытаний будет справедливо следующее соотношение:

являющееся приближенным вариантом соотношения (2.15а). Например, в эксперименте с бросанием монеты мы обычно предполагаем, что общая частота выпадения решеток и частота, с которой решетка появляется непосредственно после герба, близки к 1/2. Следовательно, можно ожидать, что близко к для больших значений

Аналогично если составной эксперимент образован М независимыми повторениями простого эксперимента, то обычно наблюдаемая частота, с которой появляется каждая отдельная последовательность результатов, например приблизительно равна произведению относительных частот составляющих результатов:

Исходя из этих предпосылок, мы можем теперь рассмотреть задачу построения математической модели, описывающей последовательность М испытаний в реальном эксперименте. Предположим, что уже определена система вероятностей, адекватно описывающая одно испытание, и нас интересует лишь некоторое событие которому сопоставлена вероятность и дополнительное событие Построим новую систему вероятностей, пригодную для моделирования последовательности М независимых испытаний. Пространство элементарных событий новой системы состоит из точек, каждая из которых сопоставляется одной из возможных последовательностей длины М, образованных исходами Например, если то имеется 8 элементарных событий.

Мы хотим сопоставить этим точкам вероятности так, чтобы эти вероятности обладали свойствами относительных частот. Это значит, что в нашей

новой системе должно быть отражено соотношение (2.15в). Поэтому сопоставим каждой последовательности (элементарному событию) вероятность, равную произведению вероятностей составляющих ее исходов. Таким образом, если откуда следует, что то события и вероятности сопоставляются элементарным событиям по правилу, которое иллюстрируется табл. 2.1 для случая .

Таблица 2.1 (см. скан) Задание вероятностей,

Кроме того, для того чтобы в конечном счете установить связь между повторяемым физическим экспериментом и нашей математической моделью, мы сопоставим каждому элементарному событию число равное доле числа появлений исхода А в соответствующей последовательности:

где число появлений исхода А в последовательности. В этом примере вероятность события равна

Для произвольного М вероятность того, что равна

где

Для того чтобы доказать этот факт, заметим сначала, что каждой последовательности, содержащей точно к исходов А, соответствует вероятность . Хорошо известно, что имеется С различных последовательностей, содержащих к букв к букв В. Поскольку каждой из этих последовательностей соответствует некоторое элементарное событие, то должно быть С элементарных событий, для которых Вероятность каждого из них равна Поэтому равенство (2.166) непосредственно следует из свойства III.

Совокупность вероятностей, задаваемых соотношением (2.16б), называется биномиальным распределением, а величины С — биномиальными коэффициентами. Проверим, что сумма биномиальных вероятностей равна единице (как это и должно быть в соответствии со свойством II), используя

известное свойство бинома:

В результате получим

На фиг. 2.7 приведены графики при и 0,5.

Нас интересует главным образом статистическое поведение когда М велико. Для произвольного сколь угодно малого числа рассмотрим событие

Тогда

где

Из графиков на фиг. 2.7 вполне ясно, что при любом в эта вероятность стремится к нулю, когда неограниченно возрастает. Более того, далее мы увидим, что справедливо неравенство

и даже более сильное неравенство

где а — положительное число, не зависящее от М.

В математической модели составного эксперимента число определялось совершенно аналогично относительной частоте, а именно и Из соотношений (2.19) следует, кроме того, что обладает следующими свойствами, отражающими свойства относительной частоты в природе: с большой вероятностью близко к числу если М велико, точно так же, как значение почти всегда устанавливается вблизи числа когда велик о. Маловероятное событие, состоящее в том, что значительно отличается от отражает нетипичные результаты в реальном мире, например событие, состоящее в том, что наблюдаемая относительная частота появления герба в длинной последовательности независимых бросаний монеты близка к единице. Мы говорим, что такие последовательности неправдоподобны; математическая модель утверждает, что они маловероятны. Связь математической модели, даваемой теорией вероятностей, с реальным миром определяется тем, что не следует ожидать появления экспериментального результата, соответствующего событию малой вероятности. Таким образом, мы ожидаем, что относительная частота некоторого результата в длинной последовательности независимых испытании стремится к вероятности соответствующего события в математической модели. Так же как и ньютоновская механика, теория вероятностей в конечном счете оправдывается тем фактом, что ее предсказания (в данном случае значений относительных частот) успешны.

(кликните для просмотра скана)

Естественно, что успех математического предсказания зависит не только от правил, используемых при вычислениях, но и от точности исходных числовых данных. Например, масса абстрактного тела в механике должна быть близка к массе соответствующего физического тела. В приложениях обычно сначала задают вероятности достаточно простых событий, а затем переходят к вычислению вероятностей других, более сложных событий. Следует, конечно, позаботиться о том, чтобы способ первоначального задания вероятностей был реалистичным. Например, одной из задач теории связи является построение систем связи, осуществляющих передачу по каналу с шумами с минимальной вероятностью ошибки. Успешные технические результаты достигаются только в том случае, когда математическая модель капала адекватно отражает истинную природу помех.

Во многих случаях к надлежащему выбору первоначальных вероятностей приводит изучение физических процессов, лежащих в основе случайного явления; мы увидим, что шумы в транзисторе и в электронной лампе могут быть изучены таким способом. В некоторых случаях точкой отправления служат соображения симметрии; например, разумно положить равной 1/2 вероятность выпадения герба при бросании монеты. В других случаях приходится заняться изучением относительных частот: размеры страховых платежей при страховании жизни основываются на экспериментальных таблицах смертности. Здесь, конечно, неизбежен риск, связанный с тем, что наблюдаемые частоты могут быть нетипичными. В любом случае конечная проверка обоснованности выбора сводится к тому, будет ли предсказание, основанное на исходных данных, достаточно точным для того, чтобы быть полезным.