ПРИЛОЖЕНИЕ 5Б. СИГНАЛЫ С ОГРАНИЧЕННЫМ СПЕКТРОМ

Рассмотрим следующий сигнал с идеальным ограничением по полосе частот:

где

В настоящем приложении мы покажем, что если функция тождественно равна нулю на отрезке длина которого отлична от нуля, то тождественно равна нулю при всех .

Интуитивно понять это утверждение можно на следующем приводящем к явному противоречию рассуждении. Пусть

и положим

где выбираются таким образом, чтобы точки лежали внутри отрезка Тогда (фиг. 5Б.1)

Проведем преобразование Фурье над обеими частями равенства Тогда получим

Но

Из фиг. 5Б.2 очевидно, что свертка спектра, ограниченного по полосе сигнала со спектром не может быть спектром ограниченного по полосе сигнала. Мы приходим к выводу, что соотношения могут одновременно выполняться, лишь если

Формальное доказательство, дополняющее приведенное выше рассуждение, основано на разложении в степенной ряд функции Согласно производная равна

Поэтому

Обозначив энергию через получим

Степенное разложение функции в окрестности точки содержащее к членов, имеет вид

где остаточный член вида

лежит между . Поэтому

Фиг. 5Б.1

Фиг. 5Б.2. Спектры функций

Точное знание внутри любого интервала ненулевой длины позволяет легко вычислить любую производную в середине этого интервала и таким образом построить степенной ряд. Более того, правая часть неравенства , а следовательно, и стремятся к нулю при к для любых Поэтому бесконечный степенной ряд всюду абсолютно сходится к функции Отсюда следует, что если функция внутри некоторого интервала, то она тождественно равна нулю всюду.