3.2. ПРОФИЛЬТРОВАННЫЙ ИМПУЛЬСНЫЙ ШУМ

Случайные процессы, которые до сих пор рассматривались, полезны для закрепления понятия случайного процесса, однако эти процессы нельзя использовать как примеры шумовых помех, с которыми приходится иметь дело и электросвязи. Профильтрованный импульсный шум, напротив, вездесущ; он присутствует в любой электрической цепи. Сейчас мы рассмотрим один источник профильтрованного импульсного шума для того, чтобы получить физическое обоснование для последующего изучения гауссовских процессов.

На фиг. 3.15 приведена упрощенная схема триодного усилителя. Электроны испускаются за счет термоэлектронного эффекта нагретым катодом и движутся к аноду под воздействием электрического поля, создаваемого напряжениями анода и сетки. Затем эти электроны проходят через фильтр в анодной цепи и возвращаются на катод.

Типичное время пробега электрона от катода до анода приблизительно равно . В соответствии с анализом Фурье фильтр в анодной цепи

(кликните для просмотра скана)

с шириной полосы частот обладает переходной характеристикой с фронтом нарастания равным по меньшей мере сек. Отсюда следует, что даже при ширине полосы частот интервал больше, чем сек, и превосходит величипу времени пробега на порядок величины.

При этих обстоятельствах представляется разумным предположение о том, что каждый электрон, попадающий на анод, вызывает импульс величины на входе фильтра где

— заряд электрона. Так как анодная цепь линейна, то напряжение на выходе получается наложением импульсов, вызываемых отдельными электронами. Как показано на фиг. 3.16, а — е,

и

где момент появления импульса тока.

Из фиг. 3.16 ясно, что выходное напряжение зависит от последовательности моментов поступления на анод электронов. Например, если бы импульсы, образующие появлялись периодически, то напряжение можно было бы полностью предсказать, зная его период и фазу. С другой стороны, вследствие термоэлектронного механизма появления электронов для данной электронной ламны мы не можем точно предсказать моменты прибытия электронов а следовательно, и выходное напряжение Говорят, что является «шумом».

В нашей математической модели усилителя моменты трактуются как случайные величины, а напряжение как случайный процесс. Выражение (3.25в) представляет собой еще один пример задания случайного процесса при помощи функции от времени, некоторые параметры которой являются случайными величинами.

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Остается задача найти плотности распределения вероятностей, описывающие процесс Для проведения точного анализа сначала следовало бы найти плотность совместного распределения вероятностей случайных величин Это задача непреодолимой трудности. Например, при режиме работы с пространственным зарядом величины не являются статистически независимыми; в период, когда эмиссия электронов из катода претшшает среднее значение, увеличивается плотность пространственного заряда, в результате чего эмиссия электронов затрудняется.

К счастью, тот факт, что число электронов, вносящих вклад в напряжение на выходе, в любой заданный момент времени является огромным, позволяет с большой пользой применять приближенный анализ. Если ток равен то в среднем электронов попадают на анод в течение каждой секунды. При результирующее число случайных величин входящих в в выражении равно

Эта ситуация является классическим примером, когда применимы соображения, связанные с центральной предельной теоремой. По существу статистические связи, имеющие место среди величин настолько недостаточно выражены, что не подавляют определяющую гауссопскую тенденцию. Ото

было показано тщательным и подробным анализом [79, 82], основанным на разумных моделях потока электронов. Резюмируем результаты этого анализа.

1. Случайная величина получаемая измерением случайного процесса на выходе усилителя, схема которого приведена на фиг. 3.15, В некоторый момент времени имеет плотность распределения вероятностей, примерно равную гауссовской, если поток электронов достаточно велик.

2. Если на вход усилителя подается слабый сигнал который вызывает малое изменение потока электронов (как на входном каскаде приемника в системе связи), то случайный процесс на выходе

где (неслучайное) напряжение на выходе, вычисляемое на основе теории цепей без шумов, а случайный процесс, не зависящий от

3. При измерениях, производимых при неизменных условиях, шумовой процесс можно считать стационарным процессом с нулевым средним значением. Таким образом, средние значения случайных величин соответственно равны

Эти аналитические результаты полностью соответствуют нашим интуитивным представлениям, и, что гораздо существеннее, они согласуются с эмпирическими данными: введение этих свойств в математическую модель шума в электронной лампе позволяет вычислить характеристики системы, которые Согласуются с экспериментальными результатами при нормальных условиях работы.

Шум, вызываемый случайными дискретными приращениями заряда, называется также дробовым шумом.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

В результате предыдущих рассмотрений кажется разумным приписать гауссовскую плотность распределения вероятностей в любой заданный момент времени процессу профильтрованного импульсного шума входящему в равенство

где Тот факт, что правая часть этого равенства не зависит от является отражением предпосылки о стационарности Отсюда следует, что для любого другого момента наблюдения

Однако задача определения выражений для плотностей совместных распределений, таких, например, как должна быть еще рассмотрена.

Если две случайные величины статистически независимы, то плотность их совместного распределения вероятностей равна просто произведению плотностей каждой из них. С другой стороны, предположение о том, что являются статистически независимыми, несовместимо для многих из пар моментов наблюдения с моделью дробового шума.

Предположим, что разделены интервалом, менее коротким, чем интервал А, в котором отклик существенно отличен от нуля. Поскольку в выражении (3.256) процесс получается из «скользящим интегрированием» с весом то многие импульсы, которые входят в выражение для входят также и в выражение для и эти два напряжения

являются физически зависимыми. Из фиг. 3.16 видно, что если таково, что область, где существенно отлично от нуля, охватывает более чем среднее число импульсов, то обе величины будут иметь тенденцию превзойти свои средние значения, если

Эта физическая зависимость между должна отражаться и в разумной их математической модели. В частности, если близки друг к другу, то сведепие о том, что превзошло свое среднее значение, должно увеличивать условную вероятность того, что превосходит свое среднее значение. Это значит, что в разумной математической модели

где для упрощения обозначений мы положили

Для того чтобы подобрать подходящее функциональное выражение для плотности совместного распределения вероятностей требуется дальнейшее исследование.

В разд. 3.3 будет рассмотрена центральная предельная теорема, которая может служить обоснованием того, чтобы выбрать в качестве плотность совместного гауссовского распределения, введенную в гл. 2. Сейчас, однако, поучительно рассмотреть эту плотность распределения более подробно и проверить согласованность ее свойств со свойствами модели профильтрованного импульсного шума. Плотность совместного гауссовского распределения обобщенная на случай произвольной дисперсии имеет вид

Во-первых, отметим, что [так же как и в соотношении ] отдельные плотности являются гауссовскими с нулевыми средними значениями: интегрированием легко проверяется, что

Эти равенства согласуются с равенствами и

Во-вторых, отметим, что [так же как плотность ] плотность условного распределения величины при условии, что приняло значение а, есть

Эта плотность условного распределения вероятностей также является гауссовской, но условное математическое ожидание величины при условии — а равно а не нулю. Условная дисперсия равпа ста Понятия «условное математическое ожидание» и «условная дисперсия» означают, что математическое ожидание и дисперсия вычислены при помощи плотности условного распределения вероятностей.

Структура функции в первую очередь определяется параметром Вспомним графики, приведенные на фиг. 2.32. Если то стремится к импульсной функции с центром в точке а, условная дисперсия убывает и уменьшается неопределенность относительно значения величины если значение известно. Значения близкие 1, возникают при измерении профильтрованного импульсного шума в близкие моменты наблюдения значение относится к вырожденному случаю совпадения и когда измеренные значения выхода фильтра одни и те же.

Фиг. 3.17. (см. скан) Поверхности уровня постоянной плотности двумерного гауссовского распределения График самой плотности приведен на фиг. 2.24 при

Напротив, если то случайные величины и статистически независимы и

Величина не содержит никакой информации относительно . Подобная ситуация встречается при измерении профильтрованного импульсного шума, когда величина много больше эффективной продолжительности импульсного отклика фильтра, так что совокупности импульсов, определяющие результаты измерений в моменты и в основном не перекрываются. Значения заключенные между 0 и 1, соответствуют тем значениям которые сравнимы по величине с эффективной продолжительностью импульсного отклика фильтра.

Дальнейшему пониманию зависимости поведения от помогают линии постоянных уровней плотности распределения вероятностей, которые приведены на фиг. 3.17. Эти контуры удобнее всего рассматривать в системе координат повернутой на угол 45° относительно системы координат, в которой задаются величины Если положить

то показатель в выражении для приводится к виду

Таким образом, при всех значениях линии постоянных уровней являются эллипсами с центральными осями симметрии Если то эти эллипсы вырождаются в окружности; при эллипсы вырождаются в прямые и соответственно.