7.3. СЛУЧАЙНЫЕ АМПЛИТУДА И ФАЗА

До сих пор мы предполагали, что сигнал подвергается только таким преобразованиям, характеристики которых точно известны на приемном конце. В частности, в случае полосового сигнала мы предполагали, что точпо известны как коэффициент усиления, так и фаза информационной компоненты принимаемого сигнала. На практике эти сведения доступны не всегда. Сейчас мы рассмотрим некоторые простые математические модели каналов с фильтрацией сигнала, в которых эта фильтрация зависит от одного или большего числа неизвестных (случайных) параметров.

СЛУЧАЙНАЯ АМПЛИТУДА

Простейшим каналом со случайным параметром является модель с чистыми замираниями, в которой принимаемый сигпал

где а — случайная величина с известной плотностью распределения вероятности Предположим, что величина а статистически не зависит от передаваемого сигнала и аддитивного белого гауссовского шума

В случаях, подобных определение структуры оптимального приемника связано лишь с небольшим обобщением предыдущих результатов. Снова положим тогда и только тогда, когда максимизирует выражение

Здесь соответствие между сигналами и векторами такое же, как в гл. 4. Для простоты предположим во леей оставшейся части этой главы, что равновероятны. Отсюда следует, что оптимальный приемник должен лишь определить которое максимизирует

Случайный параметр, такой, как а, входит в выражение, описывающее оптимальный приемник, следующими образом:

Сейчас и для последующего удобно использовать обозначение

Равенство можно интерпретировать следующим образом. При заданных значениях плотность является величиной, зависящей от а. Но а — это случайная величина, и вероятность того, что а находится в интервале равна Эти вероятности совместно с множеством чисел получающихся при изменении а и фиксированных определяют другую случайную величину, которую мы обозначим как (Функция от случайной величины есть снова случайная величина.) Согласно теореме о математическом ожидании среднее значение этой повой случайной величины равно

что совпадает с Аналогично если х и у — случайные векторы, случайное событие, то

и

В этой сокращенной записи соотношение принимает вид

Равенство дает ключ к анализу оптимального приемника в случае канала с замираниями При белом гауссовском шуме

и, следовательно,

Возможность вычисления (и осмысленной интерпретации) этого среднего значения зависит как от и от На языке векторных сигналов коэффициент затухания а, очевидно, соответствует изменению масштаба по радиусу в совокупности принятых сигналов как показано на фиг. 7.24. Если бы значение а было известно на приемнике, то можно было бы использовать его при определении оптимальных областей решения (см. гл. 4). Поэтому можно ожидать, что структура оптимальных областей решения, в случае когда а неизвестно, будет некоторым усложненным компромиссным вариантом между структурой различных оптимальных областей решения, задаваемых разными значениями параметра а, взвешенными в соответствии с плотностью распределения вероятности, с которой а принимает эти значения.

Имеется один случай, в котором ситуация проста. Если затухание а всегда положительно и все сигналы обладают одинаковой энергией то границы оптимальных областей решения сами радиальпы (как показано на фиг. 7.25), так что они инвариантны по отношению к изменению масштаба по радиусу в пространстве принимаемых сигналов. В этих условиях очевидно, что корреляционный приемник, или приемник с согласованными фильтрами, продолжает оставаться оптимальным совершенно независимо от того, известны ли точное значение а или даже распределение

Фиг. 7.24. Изменение масштаба по радиусу в совокупности сигналов;

Фиг. 7.25. Области решилия, инвариантные относительно положительного затухания.

Справедливость этих соображений можно формально проверить, исключив члены, которые не зависят от в равенстве (7.36б). Для сигналов с одинаковой энергией имеем

При любом таком, что для индекс при котором максимизируется этот интеграл, совпадает с индексом при котором максимизируется .

В то же время следует подчеркнуть, что ошибки, имеющие место при использовании оптимального приемника, очень существенно зависят от Например, если используются равновероятные двоичные сигналы

то при энергия принимаемого сигнала равна и

Если с большой вероятностью находится около нуля, то вероятность ошибки велика. В любом случае, как показано в приложении

где а — среднее значение а. Знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда а — неслучайная величина, т. е. тогда, когда

СЛУЧАЙНАЯ ФАЗА

Случайность фазы приводит к дополнительным трудностям при анализе оптимального приемника для полосовых сигналов. Сейчас мы рассмотрим случай, когда передаваемый сигнал

где выбирается из совокупности равновероятных низкочастотных сигналов спектр которых занимает полосу, равную случайная величина с равномерной плотностью распределения вероятности на интервале

Как обычно, будем считать, что на принятый сигнал накладывается аддитивный белый гауссовским шум:

Передаваемый сигнал соответствует сигналу ДАМ-ПН на фиг. 7.9, если не считать того, что 0 отражает неопределенность на приемном конце относительно точного значения фазы принимаемого сигнала. Эта неопределенность может возникать по многим различным причинам, например из-за медленного ухода генератора или малых случайных флуктуаций (порядка времени распространения сигнала от передатчика к приемнику. Несмотря на то что фаза не известна, демодулятор ДАМ-ПН с синусоидальным и косинусоидальным выходами канала все еще может быть использован в качестве первого блока оптимального приемника, как показано на фиг. 7.26; единственным необратимым эффектом является удаление шума вне полосы, занимаемой сигналами.

Вспоминая тригонометрическое тождество

можно написать

Фиг. 7.26. Демодуляция при случайной фазе.

Удобно отнести параметр к передатчику, хотя реальный источник случайной фазы может находиться в канале. При этом предположении и подходящем выборе сигналов, ограниченных по полосе, канал вносит искажение в передачу, лишь добавляя белый гауссонский шум, так что

Парой демодулированных сигналов на фиг. 7.26 поэтому будут сигналы

Соответствующим векторным представлением является

где через обозначены соответственно проекции случайных процессов на ортонормалыше функции используемые для описания множества низкочастотных сигналов.

Первое важное замечание относительно равенств состоит в том, что оба выхода демодулятора содержат компоненты сигнала и что поэтому оптимальный приемник должен наблюдать оба эти выхода. В соответствии с этим для заданных оптимальный приемник должен положить равным такому для которого максимальна. Так как мы предполагаем, что все равновероятны, то это эквивалентно максимизации

где вновь использовано обозначение

Второе важное замечание состоит в том, что [см. ] являются статистически независимыми стационарными гауссовскими процессами, каждый из которых имеет равномерную спектральную плотность в полосе занимаемой сигналом Так как мощность шума вне полосы сигнала не влияет на оптимальный приемник, можно предположить, что шумы являются белыми. Проекции этих независимых процессов на ортонормалыше функции дают независимые гауссовские случайные величины с одинаковыми дисперсиями, равными Следовательно,

где число ортонормальных функций в множестве используемом для описания сигналов Таким образом,

Раскрывая квадраты модулей в показателе экспоненты и опуская множители, не зависящие от получаем, что приемник должен максимизировать выражение

где — энергия

Вид оптимального приемника следует непосредственно из Введем следующие обозначения при

и

где

и

— корреляция 1-го сигнала с процессами на выходах соответственно косинусоидальпого и синусоидального демодуляторов. Используя тождество и вводя преобразование фиг. 7.27, получаем

В частности, когда имеем

и среднее значение из равенства можно записать в виде

Этот интеграл встречается в расчетах достаточно часто для того, чтобы ему было дано название, и для того, чтобы онбыл табулирован. Принято обозначение

называется модифицированной функцией Бесселя первого рода нулевого порядка» График представлен на фиг. 7.28. В силу

Фиг. 7.27. Полярное преобразование выходов согласованных фильтров.

периодичности косинуса для любого имеем также

Следовательно, при заданных наблюдаемых значениях оптимальное правило решения состоит в выборе тогда и только тогда, когда максимально выражение

Дополнительное упрощение возможно, когда сигналы имеют одинаковую энергию для всех При этом необходимо максимизировать лишь или, что еще проще, в силу того что монотонно возрастающая функция от необходимо максимизировать лишь X, или где

Равенство задает одну из форм оптимального приемника сигналов с одинаковыми энергиями. Как показано на фиг. 7.29, этот оптимальный приемник вычисляет корреляцию выходов косинусоидального и синусоидального демодуляторов с каждым из возможных низкочастотных сигналов. Для каждого из сигналов приемник составляет сумму квадратов косинусоидальной корреляции и синусоидальной корреляции. Полученные таким образом значения подаются на сравнивающее устройство, которое определяет, какой из имеет наибольшее значение.

Так же как и в случае приемника для сигналов с известной фазой, изображенного на фиг. 7.16, возможность вычисления корреляции выходов демодулятора с низкочастотными сигналами приводит к тому, что низкочастотные фильтры на выходах демодулятора фиг. 7.26 оказываются избыточными; они устранены на фиг. 7.29. Из фиг. 7.29 ясно, что равенства (7.47в) и можно записать в виде

На фиг. 7.30 показана эквивалентная форма оптимального приемника, в котором вместо корреляторов используются низкочастотные согласованные фильтры с импульсными откликами:

Конечно, все идеальные низкочастотные сигналы должны иметь бесконечную длительность и фильтры физически не реализуемы. Однако практически приемник, изображенный на фиг. 7.30, оказывается как физически реализуемым, так и по существу оптимальным, если почти вся энергия каждого из сигналов сосредоточена на интервалах

Детектирование огибающей. Существенно иной способ оптимального приема равновероятных сигналов с одинаковой энергией и случайной фазой состоит в следующем. Пусть сигнал на фиг. 7.26 подается прямо на

(кликните для просмотра скана)

Фиг. 7.30. Приемник с согласованными фильтрами для сигналов с одинаковыми энергиями и случайной фазой.

блок фильтров с импульсными откликами согласованными с полосовыми сигналами этом предполагается, что фаза неизвестна.

Положим . Для выхода фильтра имеем

В последнем равенстве введены обозначения

и

Так как изменения во времени компонент возникают лишь из-за изменений , а низкочастотный (и, следовательно медленно меняющийся) сигнал, то как так и остаются относительно постоянными на протяжении нескольких периодов Таким

образом, полезно вновь использовать и записать выход согласованного фильтра в виде

где

— медленно меняющаяся «огибающая», а

— медленно меняющаяся фаза.

Заметим, наконец, что для момента времени из равенств и определений следует, что

Отсюда

Это значит, что оптимальный приемник можно построить, используя полосовые фильтры, согласованные (при неизвестной фазе) непосредственна с сигналами и следующие за этими фильтрами детекторы огибающих, с которых снимается отсчет в момент (фиг. 7.31).

На фиг. 7.32 показано, как огибающая медленно меняется во времени, тогда как сама функция изменяется синусоидально с частотой в пределах, ограниченных этой огибающей. Это объясняет, почему оптимальный приемник использует огибающую, а не саму функцию в случае, когда фаза синусоидального заполнения известна. Приемники, которые основаны на рассмотрении только огибающей на выходе согласованного фильтра и, следовательно, не используют сведений о фазе, называются некогерентными приемниками. Приемники, использующие сведения о фазе, называются когерентными.

Вероятность ошибки. Так как некогерентный приемник не принимает во внимание фазовую информацию, он не может приводить к вероятности ошибки столь же малой, как и когерентный приемник. Для того чтобы проиллюстрировать это, вычислим вероятность ошибки для канала с белым гауссовским шумом, когда передается одно из двух равновероятных сообщений с помощью системы, использующей некогерентпый приемник и ортогональными низкочастотными сигналами равной энергии

Как следует из равенства в этом случае оптимальный некогерентный приемник принимает решение тогда и только тогда, когда

Все векторы в равенстве являются двумерными. В соответствии с

(кликните для просмотра скана)

Поэтому если то компонентами векторов будут

После сокращения общего множителя условие можно представить с помощью этих коэффициентов в виде

Так как — ортопормальные функции, и статистически независимые гауссовские процессы, то случайные величины являются статистически независимыми гауссовскими случайными величинами и плотность распределения каждой из них

Из и получаем

Найдем , усредняя но значениям случайной величины . В результате получим

В последнем равенстве использовано то, что статистически независимы при условии, что было передано сообщение

Усреднение в легче всего выполнить в два приема: вначале подсчитать условную вероятность ошибки и затем произвести усреднение по случайной фазе . Используя обозначение для условного среднего значения при условии, что задано из получаем

Если то случайные величины являются гауссовскими с дисперсиями и средними значениями

В приложении доказывается следующая очень полезная лемма:

Лемма. Пусть гауссовская случайная величина со средним значением и дисперсией любая комплексная постоянная, вещественная часть которой меньше, чем Тогда атем и чес кое ожидание

величины

Применяя эту лемму к равенству (7.66а) при , получаем

Так как правая сторона этого равенства не зависит от усреднение по дает окончательно, что

Интересно сравнить этот результат для двух равновероятных ортогональных низкочастотных сигналов и некогерентного приема с соответствующим результатом для когерентного приема. В когерентном случае, используя и (2.121), находим

При больших значениях оценка в очень точна и вероятности ошибок оптимальных когерентного и некогерентного приемников экспоненциально эквивалентны. Кривые, описывающие поведение этих вероятностей, представлены на фиг. 7.33.

Причины того, что когерентный некогерентный случаи почти эквивалентны, видны из фазовой диаграммы фиг. 7.34. В соответствии с равенствами и умноженный на нормирующий множитель выход возбужденного сигналом полосового согласованного фильтра на фиг. 7.31 можно представить в момент как векторную сумму вектора с длиной и фазой и случайного вектора шума. Результирующий вектор вращается с угловой частотой и нормированный выход фильтра— это его проекция на горизонтальную ось.

Вектор шума можно разложить на две компоненты: одну, совпадающую по фазе с вектором сигнала (софазную компоненту), и вторую — перпендикулярную первой (противофазную компоненту). Так как низкочастотные шумы входящие в представление полосового шума, являются стационарными, а изменение в фазе сигнала соответствует сдвигу начального момента времени, то статистические свойства софазной и противофазной компонент шума 0 одинаковы, каково бы ни было значение . Таким образом, эти узкополосные низкочастотные профильтрованные компоненты вектора шума медленно меняются по длине и амплитуды каждой из них — статистически независимые гауссовские процессы со средними значениями мощности и стандартными отклонениями амплитуды, равными 2.

В случае когерентного приема фаза известна и оптимальный приемник использует лишь софазную компоненту шума. В некогерентном случае оптимальный приемник использует огибающие на выходе фильтров. Для фильтра, возбужденного сигналом, это соответствует длине суммы векторов сигнала и шума. Однако, когда как софазная, так и противофазная компоненты вектора шума обычно много меньше компоненты сигнала.

(кликните для просмотра скана)

Как видно из геометрического расположения векторов на фиг. 7.34, в этом случае на амплитуду огибающей воздействует главным образом лишь софаз-ная компонента шума.

Во многом аналогичным образом можно также рассмотреть полосовой согласованный фильтр, на выходе которого есть лишь шум. Длина векторной суммы двух ортогопальных гауссовских векторов может быть большой (по сравнению с сигналом), только если одна или обе компоненты этой суммы велики. При слабом шуме вероятность такого события лишь несущественно больше вероятности, которая была бы в случае только одной компоненты шума, как это имеет место при использовании когерентного приемника. Таким образом, отсутствие информации о фазе лишь слабо влияет на статистическую природу выхода какого-либо из двух ортогональных согласованных фильтров, когда велико. Это объясняет, почему детектирование огибающей приводит к ошибке, которая лишь немного завышена при больших отношениях сигнал/шум.

Хотя когерентный и некогерентный приемники дают сравнимые по величине вероятности ошибки, когда передается один из двух равновероятных ортогональных сигналов на фоне слабого шума, это не означает, что полностью не сведений о фазе не имеет значения. действительности если возможен когерентный прием, то два сигнала можно выбрать противоположными, а не ортогональными, что сэкономит 3 дб. Те же 3 дб можно сэкономить также, если фаза канала изменяется достаточно медленно, так что можно использовать непрерывность фазы между последовательными посылками, несмотря даже на то, что абсолютное значение фазы может оставаться неизвестным. Один из способов достижения этого описан ниже.

Сравнение фаз и измерение характеристик канала. Один из интересных методов передачи двоичных сигналов по каналу со случайной фазой состоит в передаче известного опорного сигнала, например для измерения фазы канала и последующей передаче сообщения с помощью противоположных сигналов соответствующих Заметим, что эти информационные сигналы являются оптимальными, если фаза известна, и являются неразличимыми, если фаза равномерно распределена на интервале это показывает необходимость измерения фазы.

Рассмотрим сейчас частный случай, в котором низкочастотные сигналы ортогональны и каждый из них имеет энергию, равную Один из возможных способов выбора сигналов и соответствующее векторное представление показаны на фиг. 7.35.

Из векторного представления непосредственно следует, что переданный совокупный сигнал (опорный сигнал плюс информационный сигнал) можно получить с помощью одной операции, подавая на вход модулятора передатчика соответственно либо

либо

Сигналы ортогональны, и энергия каждого из них равна Таким образом, не существует различия (если не считать различия точек зрения) между рассматриваемым здесь множеством сигналов и тем множеством сигналов которое использовалось при изучении детектора огибающей.

Остается показать, как эту точку зрения можно применить к построению оптимального приемника. Сначала докажем, что рассматриваемый приемник, использующий опорную фазу и сравнение, всегда принимает такое же решение, как и оптимальный приемник с детектированием огибающей.

(кликните для просмотра скана)

Заметим сначала, что, как следует из этот приемник принимает решение тогда и только тогда, когда выполняется неравенство

которое можно переписать в виде

После упрощений можно заметить, что оптимальный приемник принимает решение тогда и только тогда, когда

Наконец, если ввести два новых вектора (это иллюстрируется фиг. 7.36)

то равенство можно записать в виде

Интерпретация оптимальпого правила решения (7.72в) становится ясной при рассмотрении фиг. 7.37. Во-первых, принимая во внимание (7.58в) и рассуждения, приводящие к заметим, что угол (фаза) вектора в точности равен фазе в момент выхода фильтра, «согласованного» с а угол (фаза) вектора в точности равен фазе в момент выхода фильтра, «согласованного» с Согласно условию (7.72в), оптимальное правило решения состоит в принятии решения тогда и только тогда, когда абсолютное значение разности фаз векторов меньше 90°. Это значит, что оптимальным является приемник, который измеряет фазу вектора и использует ее как опорную при сравнении с фазой вектора .

Когда велико, фаза, измеренная с помощью опорного сигнала, с большой вероятностью близка к истинной фазе канала и это дает другую интерпретацию результата о том, что характеристики некогерентного приемника в этих условиях ухудшаются лишь незначительно.

Относительная фазовая манипуляция. Существует применяемая на практике система [22], которая разумным образом использует идею, связанную с опорной фазой, для передачи последовательности двоичных сообщений по каналу, фаза которого изменяется очень медленно. Для того чтобы передать первое двоичное сообщение, до передачи информационного сигнала посылается опорный сигнал. Для второго двоичного сообщения информационная часть сигнала первой посылки используется как опорный сигнал и посылается лишь новый информационный сигнал. Эта процедура продолжается далее для каждого сигнала, служащего опорным сигналом для сигнала, следующего за ним (фиг. 7.38). Если в какой-либо дюмент времени следует передать фаза оставляется неизменной по отношению к предыдущей посылке, если же следует передать фаза меняется на 180°. Решение производится на основе того, является ли абсолютное значение разности повой принятой фазы и предыдущей принятой фазы большим или меньшим 90°. Отсюда следует, что если можно пренебречь дрейфом фазы канала в промежутках между последовательными посылками, то вероятность ошибки будет равна тому же самому значению, которое она имела при некогерентном приеме с ортогональными сигналами, имеющими энергии, равные энергии суммы опорного и информационного сигналов (обозначим ее через .

(кликните для просмотра скана)

Из следует

Однако при относительной фазовой манипуляции энергия, в действительности используемая при передаче каждого двоичного сообщения, просто равна энергии информационной части сигнала, т. е. Поэтому

и получается выигрыш 3 дб за счет двойного использования энергии. При больших значениях и медленном дрейфе фазы ухудшение средней характеристики по сравнению с характеристикой оптимальной когерентной двоичной системы, использующей противоположные сигналы, пренебрежимо мало. Главное отличие состоит в том, что ошибки приобретают тенденцию появляться парами, так как ошибка в одпом сообщении означает с большой вероятностью, что прием ведется в условиях сильного шума, что в свою очередь приводит к неуверенно определенному опорному сигпалу для следующего решения.