АДДИТИВНАЯ ГРАНИЦА ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТИ ОШИБКИ

Некоторое приближение к для любой системы равновероятных сигналов при наличии белого гауссовского шума можно получить, заметив, что ошибка при передаче сигнала возникает тогда и только тогда, когда принятый вектор ближе по крайней мерс к одному из сигналов чем к . Если событие, заключающееся в том, что ближе к чем к при условии, что передается обозначить через то

В соответствии с соотношением совместная вероятность конечного множества событий ограничена сверху суммой вероятностей этих событий — результат, очевидный при его геометрической трактовке (фиг. 4.41). Таким образом,

Заметим, что вероятность вообще говоря, не равна вероятности поскольку последняя есть вероятность того, что ближе к в, чем к любому другому вектору сигнала. Следует подчеркнуть, что зависит только от двух векторов, и вследствие чего «место можно писать Неравенство (4.108) тогда переходит в

Заметим теперь, что просто вероятность ошибки для системы, использующей в качестве сигналов для передачи двух равновероятных сообщений векторы Граница, определяемая соотношением (4.109),

Фиг. 4.41. Диаграмма Пенна. Очевидно, что

и такая интерпретация применимы не только к каналам с аддитивным гауссовским шумом, но и к каналам более общего вида. Однако для гауссовского канала выражение для записывается особенно просто. Действительно, из (4.76б) получаем

Аддитивная граница (4.109) особенно полезна, когда система сигналов полностью симметрична, ибо в этом случае безусловная вероятность ошибки равна и большинство слагаемых одинаковы. Применение этой границы можно проиллюстрировать следующими примерами.

Ортогональные сигналы:

Биортогональные сигналы:

Во многих случаях аддитивная граница является полезным приближением к истинной величине вероятности Для фиксированной величины она становится все более точной с увеличением