ПРИЛОЖЕНИЕ 3А. МАТРИЧНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Матричные обозначения упрощают исследование линейных преобразований. Рассмотрим, например, систему линейных уравнений

Можно сказать, что новые переменные линейно преобразуются в переменные . В матричных обозначениях эти уравнения могут быть записаны более кратко как

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Для того чтобы получить выражение необходимо ввести несколько определений.

1. Матрица В порядка определяется как таблица чисел, содержащая строк и к столбцов,

2. Под элементом матрицы В подразумевается число, стоящее на пересечении строки и столбца матрицы.

3. Транспозицией матрицы В порядка называется матрица порядка полученная из матрицы В путем замены строк матрицы В на ее столбцы. Эквивалентное определение состоит в том, что элемент матрицы предполагается равным элементу матрицы В. Транспозицией матрицы В, задаваемой равенством является матрица

4. Назовем матрицу порядка (матрицу из одной строки) вектором. Например,

Матрица транспонированная к матрице-строке -матрица порядка (матрица из одного столбца):

5. Две матрицы называются равными, если и только если все соответствующие элементы матриц попарно совпадают. Таким образом, равенство означает, что

6. Суммой двух матриц одного и того же порядка является новая матрица С порядка с элементами

Итак,

если и только если выполняются равенства Матричное сложение, подобно арифметическому сложению, обладает свойствами ассоциативности и коммутативности. Сумма двух матриц различных порядков не определена.

7.1 Произведением матрицы А порядка на число с называется новая матрица В порядка с элементами

Таким образом,

если и только если выполняются равенства Умножение матрицы на число обладает свойствами ассоциативности и коммутативности.

8. Матричным произведением матрицы А порядка на матрицу В порядка называется новая матрица С порядка с элементами

Таким образом,

если и только если выполняются равенства Если число столбцов в первой матрице А не равно числу строк во второй матрице В, то такие две матрицы называются несоответствующими и их произведение С не определено. Таким образом, матричпое произведение двух векторов не определено; матричное произведение вектора с к компонентами на транспопированный вектор с к компонентами совпадает со скалярным произведением х и у:

Соотношение является важным соотношением, которым мы будем часто пользоваться. С его помощью легко понять смысл равенства

Фиг. 3А.1. Матричное умножение. Матрица С = АВ есть матрица порядка с элементами которые могут быть вычислены так, как показано.

Как показано на фиг. 3А.1, можно рассматривать как скалярное произведение вектора , который соответствует строке матрицы А, и вектора который является транспонированным столбцом матрицы В. Таким образом,

Обозначения а. и являются мнемоническими: точки в них обозначают индексы, соответствующие всевозможным номерам компонент вектора. Например, для матрицы А, содержащей к столбцов, и матрицы В, содерясащей строк, Равенство можно рассматривать как результат проведения следующей операции: нужно извлечь столбец матрицы В, поместить его горизонтально над строкой матрицы А, перемножить попарно элементы, расположенные один пад другим, и просуммировать произведения. Так,

что можно легко проверить; например, элемент, стоящий во второй строке и третьем столбце произведения матриц, вычисляется следующим образом:

Этих определений уже достаточно, чтобы выяснить смысл равенства Мы взяли в качестве матрицы А квадратную матрицу порядка элементами которой являются коэффициенты системы

уравнении и положили

Следовательно, произведение есть матрица-столбец порядка . Приравнивая соответствующие элементы в правой и левой частях равенства приходим к системе уравнений

Матричные обозначения особенно удобны, когда приходится иметь дело с последовательностью линейных преобразований. Например, если к переменных из соотношений преобразуются затем в I новых переменных посредством линейного преобразования

то

Чтобы найти выражения для через можно просто подставить соотношение в равенство что дает

СВОЙСТВА МАТРИЧНОГО УМНОЖЕНИЯ

Из определения матричного умножения вытекают некоторые его ваяшые свойства.

1. Матричное умножение и сложение дистрибутивны, т. е.

Ото равенство проверяется непосредственным использованием определения.

2. Матричное умножение ассоциативно, т. е.

Это равенство можно доказать (затратив некоторые усилия), проверяя, что элемент тройного произведения задается как

независимо от того, какое умножение производится сначала.

3. Матричное умножение, вообще говоря, не коммутативно, т. е.

В самом деле, две матрицы, соответствующие, если их рассмотреть в одном порядке, не обязательно являются соответствующими, если их рассмотреть в другом порядке. Однако даже в случае двух матриц одного порядка

умножение не обязательно коммутативно. Например,

4. Транспозиция произведения двух матриц равна произведению транспозиций этих матриц, взятых в обратном порядке, т. е.

Это свойство легко доказать. Сначала рассмотрим левую часть равенства Заметим, что элемент матрицы равен элементу матрицы который в соответствии с равенством есть Теперь рассмотрим правую часть равенства: строка матрицы это элемент матрицы столбец матрицы это строка матрицы А. Следовательно, элемент матрицы равен также а. Например,

Число равное двойной сумме вида

может быть кратко записано как

где матрица порядка с элементами Сумма такого вида называется билинейной формой. Если то эта сумма называется квадратичной формой. Выражения такого типа используются в разд. 3.3.

ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦЫ

Последнее понятие из теории матриц, которое мы рассмотрим, это обращение матрицы. Обращение квадратной матрицы А порядка обозначается как и также является матрицей порядка . Если система к уравнений

обладает единственным решением для совокупности к неизвестных то матрица коэффициентов, с помощью которой к неизвестных выражаются через к параметров у. Таким образом, если из равенства следует, что

то

Из равенств получаем

и

Отсюда следует, что

где — диагональная матрица

все недиагональные элементы которой равны нулю (их совокупность символически обозначена большими нулями), а все элементы главной диагонали (вида ) равны единице.

Матрица I называется единичной матрицей. Она обладает тем свойством, что произведение любой матрицы С на I снова равно С:

Равенство может быть рассмотрено как определение обращения матрицы: матрицей обратной к матрице А, называется такая матрица, в результате умножения которой на матрицу А слева или справа получается единичная матрица. Из этого определения следует, что

Если матрица А не соответствует обратимому преобразованию (т. е. если совокупность неизвестных из уравнений не выражается однозначно через совокупность величин у, и наоборот), то обращение матрицы А не определено и матрица А называется вырожденной матрицей. Так будет всегда, если А не является квадратной матрицей. Если А — квадратная матрица, то она является вырожденной в том случае, когда уравнения линейно зависимы, откуда следует, что определитель матрицы А равен нулю:

В противном случае матрица А не вырожденная и матрица существует.

Элементы матрицы можно определить, разрешая систему уравнений относительно в результате чего получается система Если то из элементарной теории определителей [37] вытекает, что

где матрица, получающаяся из матрицы А вычеркиванием строки и столбца, а определитель этой матрицы. Отметим, что порядок индексов и в правой и левой частях равенства не один и тот же. Пример. Обращение матрицы

— это матрица

Легко проверить, что равенства удовлетворяются.

Наконец, последний, необходимый нам результат:

Он вытекает непосредственно из равенств

Кроме того, подставляя в равенство получаем

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(кликните для просмотра скана)

(см. скан)

(кликните для просмотра скана)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(кликните для просмотра скана)

(см. скан)

(см. скан)