2.3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Во многих приложениях теории вероятностей (соблазнительно сказать — в большинстве) точкам пространства элементарных событий сопоставляются действительные числа. Например, в рассматривавшейся уже математической модели для последовательности М независимых испытаний

Фиг. 2.13. Отображение из пространства на вещественную прямую.

в некотором эксперименте было естественно сопоставить каждой точке число выбранное равным доле числа появлений исхода А в последовательности исходов, соответствующей . Другой естественный пример: действительная прямая и каждой точке сопоставляется расстояние от со до начала координат. Конечно, точно так же можно было бы сопоставить со квадрат этого расстояния.

Действительное число, сопоставляемое элементарному событию , обозначается через . В общем случае, когда абстрактная совокупность точек, может быть определено как функция, отображающая на действительную прямую: любой заданной точке функция сопоставляет конечное действительное число Простой пример такого сопоставления показан на фиг. 2.13. Если пространство само является действительной прямой, то такими примерами могут быть функции или . В дальнейшем, пользуясь функциями, мы часто опускаем пустые круглые скобки и вместо пишем просто

ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

После того как было определено можно найти вероятность событий

и им подобных. Вероятность этих событий легко определяется, если известна функция распределения вероятностей определяемая равенством

Очевидно, что является функцией, определенной на вещественной прямой и принимающей значения в интервале . Например, если

то

как показано на фиг. 2.14.

Фиг. 2.14. Пример функции распределения вероятностей.

Функции для которых могут быть определены функции распределения вероятностей, называются случайными величинами. В этой книге не рассматриваются функции для которых не существует. При аксиоматическом изложении теории вероятностей следует обратить внимание на то, чтобы избежать выбора функции для которой некоторому событию не будет сопоставлена вероятность.

Перечисленные ниже свойства функций распределения следуют непосредственно из определения (2.33).

Первые три свойства следуют из того, что является вероятностью и что Свойства IV и V следуют из соотношения

Другое свойство функций распределения касается типа и величины ее разрывов, например, таких, как показаны на фиг. 2.14. Рассмотрим произвольное положительное число Поскольку определена так, что не включает вероятность (обозначим ее через события тогда как включает эту вероятность, то имеет разрыв величины в точке , если . Более того, есть значение в верхней точке этого разрыва. Если то высота разрыва равна нулю, нарушения непрерывности не происходит. Исследование этих свойств функций распределения можно подытожить, отметив, что монотонно возрастает от 0 до 1, непрерывна справа и имеет скачок величины в точке а, если и только если

Мы не ограничиваемся сопоставлением каждой точке из пространства элементарных событий только одного действительного числа. Вообще говоря, мы будем задавать сразу много различных отображений (функций) одного и того же пространства элементарных событий на действительную прямую. При этом получается некоторая совокупность существующих одновременно случайных величин

Рассмотрим сначала случай Для заданных функций и мы можем исследовать вероятности совместных событий, например,

Для того чтобы получить эти вероятности, недостаточно знать только одномерные распределения Все такие вероятности могут быть найдены, однако, если известна совместная функция распределения вероятностей определяемая соотношением

Таким образом, есть вероятность, сопоставляемая совокупности всех точек со в соответствующих области двумерного евклидова пространства, которая заштрихована на фиг. 2.15а.

Перечисляемые ниже свойства функции совместного распределения непосредственно следуют из определения (2.34).

Свойства I, II, III и VI очевидны. Свойства IV и V вытекают из того, что для любой случайной величины и что пересечение любого события с есть это событие. Таким образом, функция, монотонно возрастающая по каждому из аргументов, причем Пример возможной функции распределения показан на фиг. 2.15б.

Пусть на пространстве случайных величин этом случае удобно пользоваться следующими сокращенными обозначениями. Обозначим через последовательность длины к. Затем введем -мерную функцию совместного распределения вероятностей

где Назовем -мерным вектором случайных величин или просто случайным вектором.

Говорят, что два -мерных вектора

и

удовлетворяют соотношению

если и только если аналогичные неравенства справедливы для каждой пары соответствующих компонент, т. е. тогда и только тогда, когда

Используя это понятие, можно переписать определение (2.35) более компактно:

(кликните для просмотра скана)

Фиг. 2.16. (см. скан) Примеры вычисления совместной функции распределения.

Вектор, подобный вектору а, входящему в равенство (2.37), можно рассматривать как изображение точки в -мерной евклидовой геометрий; координатами этой точки являются компоненты вектора. Аналогично случайный вектор задает отображение пространства элементарных событий на евклидово -мерное пространство, т. е. сопоставляет некоторую точку в евклидовом -мерном пространстве каждому элементарному событию из Неравенство а задает некоторую область в евклидовом -мерном пространстве. Число есть вероятность совокупности элементарных событий и, отображаемых в область а отображением Очевидно, что свойства -мерных функций распределения являются прямым обобщением уже рассмотренных свойств одномерных и двумерных функций.

В качестве примера вычисления совместных вероятностей рассмотрим трехмерный вектор

три функции

Фиг. 2.17. Область плоскости, в которой

и вероятности, определенные равенствами (2.12), т. е. рассмотрим и вероятность, задаваемую соотношением

где интегрирование производится по совокупности интервалов, составляющих событие А.

Как видно из графиков на фиг. 2.16,

Очевидно, что в -мерной функции распределения всегда содержится вся информация, необходимая для определения вероятности любой совокупности элементарных событий выделяемых тем условием, что лежит в заданной области -мерного евклидова пространства Но непосредственно использовать в вычислениях обычно неудобно. Например, из фиг. 2.17 видно, что для вероятности прямоугольной области справедливо равенство

Вероятность этого простого события задается выражением с четырьмя членами. В случае трех случайных величин вероятность кубической области задается выражением с восьмью членами и т. д.