СМЕШАННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

В задачах теории связи часто рассматривается пространство элементарных событий в котором некоторые события определяются случайными величинами или векторами, а остальные события — другим способом. Для удобства будут введены определения и обозначения, облегчающие использование таких вероятностных систем. Рассмотрим два -мерных случайных вектора х и у и произвольные события , определяемые этими векторами:

где некоторые области -мерного пространства. Нижеследующие построения верны для произвольного к, в частности и для . В наших прежних обозначениях

Новые понятия и обозначения, которые мы сейчас введем, содержат и выражения, с которыми мы уже сталкивались. Пусть А — некоторое событие ненулевой вероятности.

Условную вероятность события В при условии А удобно записывать в виде

Функция называется плотностью условного распределения случайной величины при условии А.

Так же как все условные вероятности, у которых условие определяется некоторым событием ненулевой вероятности, можно рассматривать как плотность распределения вероятностей случайного вектора при условии, что учитываются только те элементарные события, которые входят в . В результате А становится новым пространством элементарных событий: все утверждения и теоремы, справедливые для пространства верны также и для А, если только все рассматриваемые величины интерпретируются как условные величины при условии А. Таким образом, введение понятия плотности условного распределения вероятностей при условии, задаваемом некоторым событием ненулевой вероятности, не требует никаких новых идей и связано только с усложнением обозначений. Пример:

2. Вероятность совместного осуществления событий удобно записывать в виде

Функция называется плотностью совместного распределения вероятностей случайной величины и события А.

Поскольку

то справедливо соотношение

3. . Условная вероятность события А при условии определяется так же, как соответствующая условная вероятность в одномерном случае [см. (2.81а)]:

где

Если плотности непрерывны в точке то предел существует. Действительно, с уменьшением значения числителя и знаменателя приближаются к произведению соответствующей плотности, вычисленной в точке и величины, равной объему области Сокращая числитель и знаменатель на эту величину, получаем в пределе

или

Правило Байеса. Плотность может быть вычислена двумя способами в соответствии с равенствами (2.100) и (2.102б), Приравнивая эти два выражения, получаем

Равенство (2.103а) называется смешанной формой закона Байеса; термин «смешанная» отражает тот факт, что выражения вероятностей содержат и случайные величины и события. Обычными формами закона Байеса являются следующие две формулы, вытекающие из соотношений (2.21) и (2.846):

и

Разложение на множители совместных вероятностей. Использование понятия условной вероятности позволяет различными способами разлагать на множители выражения совместных вероятностей. Например,

для трех случайных векторов можно записать

и т. д. Аналогично многими различными способами можно раскладывать на множители смешанные выражения. Например,

Статистическая независимость. Мы уже рассмотрели понятия статистической независимости событий и статистической независимости случайных величин. Эти понятия очевидным образом переносятся и на более общие вероятностные системы.

1. По определению два случайных вектора х и у статистически независимы, если и только если

Событие В, однозначно определяемое случайной величиной и событие С, однозначно определяемое случайной величиной у, статистически независимы, т. е.

если х и у статистически независимы. Эквивалентное определение статистической независимости х и у состоит в том, что

Это условие мы будем также записывать в сокращенном виде

Таким образом, если х и у независимы, то задание у не влияет на плотность распределения вероятностей величины

2. Случайный вектор и событие А называются статистически независимыми, если и только если

При этом любое событие В, однозначно определяемое вектором статистически не зависит от А:

3. Два случайных вектора х и у называются статистически независимыми при условии А, если и только если

При этом для любого события В, однозначно определяемого вектором и для любого события С, однозначно определяемого вектором у,

Рассмотрим один важный пример приложения понятия статистической независимости. Пусть заданы преобразования

где любые две функции, отображающие случайные векторы х и у в случайные величины (В частности, функции могут совпадать.) Докажем, что если х и у статистически независимы, то и

также независимы. Это утверждение следует, во-первых, из того, что события

и

статистически независимы, поскольку В полностью определяется вектором полностью определяется вектором у. Во-вторых,

для любых значений Таким образом, плотность совместного распределения вероятностей случайных величин получаемая дифференцированием распадается на множители, и, следовательно, эти случайные величины независимы. Итак, мы приходим к следующему выводу: функций от статистически независимых случайных векторов (и, в частности, случайных величин) статистически независимы.