БЕЛЫЙ ГАУССОВСКИЙ ШУМ

При рассмотрении гауссовского процесса часто бывает удобно представить его в виде суммы его функции средних и некоторого шумового процесса с нулевым средним значением. Таким образом,

где гауссовский процесс с нулевым средним значением:

В наиболее интересных прикладных задачах, например в случае дробового шума [равенство ], функция средних представляет собой известный (не случайный) сигнал, а гауссовский шумовой процесс, стационарный в узком смысле. При этом поскольку то ковариационная функция равна корреляционной функции [см. формулу ]:

Таким образом, преобразование Фурье функции т. е. спектральная плотность мощности полностью задает процесс с нулевым средним.

Во многих приложениях теории связи приходится сталкиваться с источниками физического шума, в которых спектральная плотность мощности гауссовского шума, накладывакпцегося на полезный сигнал, остается практически постоянной вплоть до частот, много более высоких, чем частоты, являющиеся основными в самом сигнале. В таких случаях из равенств (3.115) и (3.116) следует, что среднее квадратичное значение шумовых помех может быть уменьшено (без нежелательного влияния на полезный сигнал) путем пропускания суммы сигнала и шума через фильтр сигнал выходит из фильтра без каких-либо существенных изменений, а шум в значительной степени подавляется (фиг. 3.27). Поскольку мы интересуемся только спектральной плотностью мощности шума на выходе фильтра, то представляется малосущественным, каков спектр шума на входе в области, где он приближается к нулю вне полосы пропускания фильтра . В соответствии с этим часто предполагают, что спектр входного шума является постоянным на всех частотах и вводят понятие белого гауссовского шума который определяется как стационарный гауссовский процесс с нулевым средним

Фиг. 3.27. Широкополосный гауссовский шум на Гвходс узкополосного фильтра. На выходе фильтра появляется в точности такой же процесс, как если бы на вход поступал белый шум.

и со спектральной плотностью мощности

В действительности белый шум может быть только фиктивным, поскольку его общая средняя мощность должна равняться

что бессмысленно. Полезность понятия белого шума следует из того факта, что такой шум, будучи пропущенным через линейный фильтр, для которого

превращается на выходе фильтра в стационарный гауссовский процесс с нулевым средним значением, что уже отнюдь не бессмысленно. Из равенств (3.114) и (3.132) получаем

откуда следует, что

Эта величина конечна по предположению (3.1336). В соответствии с равенствами (3.120) и (3.134а) корреляционная функция процесса на выходе

Другой вывод равенства (3.125) получается непосредственно на основе выражения для корреляционной функции белого шума. Заметим, что

Таким образом, в соответствии с равенством (3.111) процесс задается к орреляционной функцией

которая тоже, хотя и не имеет физического смысла, полезна при вычислениях. Из равенства (3.1366) следует, что любые два выборочных значения белого гауссовского шума являются статистически независимыми, как бы близко друг к другу ни выбирались моменты их наблюдения. В некотором смысле белый гауссовский шум описывает предельную «случайность». Подставляя выражение (3.1366) в соотношение (3.110а) при получаем

Фиг. 3.28. Прохождение белого шума через идеальный фильтр нижних частот.

Представляя как обратное преобразование Фурье функции и меняя порядок интегрирования, приходим снова к равенству (3.135). Интеграл в правой части равенств (3.137) часто называют «корреляционной функцией» (детерминированной) функции

В качестве примера приложения этих результатов рассмотрим идеальный фильтр нижних частот, изображенный на фиг. 3.28, передаточная функция которого задается как

Если на вход этого фильтра поступает белый гауссовский шум то функция средних процесса на выходе определяется равенством

Но по определению

так что

В соответствии с равенствами (3.131в) и (3.135) корреляционная и ковариационная функции процесса на выходе задаются следующим образом:

Следовательно,

Рассмотрим теперь совокупность к выборочных значений процесса на выходе соответствующих моментам наблюдения где

F - любое постоянное число. Интересно отметить, что величины образуют совокупность статистически независимых случайных величин с нулевыми

средними значениями и с дисперсиями

Таким образом, плотность совместного распределения вероятностей к гауссовских случайных величин