ВЫВОД ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЫ
Изложение многомерной центральной предельной теоремы 
точности отражает изложение соответствующей одномерной теоремы в гл. 2. Единственное отличие состоит в том, что использование матричных обозначений позволяет нам теперь исследовать сумму случайных векторов, тогда как до сих пор мы рассматривали сумму случайных величин.
Рассмотрим вектор 
определяемый как
Предполагается, что 
при любом 
это 
-мерный вектор, статистически не зависящий от всех остальных векторов:
Кроме того, допустим, что все 
имеют одну и ту же плотность распределения вероятностей 
с нулевым средним, матрицей ковариации 
и характеристической функцией 
Следовательно,
Благодаря нормирующему множителю 
в выражении 
для 
получаем
Здесь мы воспользовались статистической независимостью величин 
для того, чтобы вычислить
где 
обозначает матрицу с нулевыми элементами.
Найдем далее предельное выражение для характеристической функции вектора 
Случайные величины 
статистически независимы, поскольку статистически независимы случайные векторы 
Среднее произведения этих величин равно поэтому произведению их средних значений:
Логарифмируя это выражение, получаем
Предельное поведение правой части равенства 
можно определить, разлагая сначала 
а затем 
в степенной ряд. Мы предполагаем для простоты, что все моменты 
конечны. Доказательство можно распространить и на случай, когда конечно только 
рассматривая степенную сумму с остаточным членом. Если 
не конечно, то центральная предельная теорема не верна. Из соотношений 
и 
получаем
где
Таким образом,
где
является непрерывной функцией от 
которая при любом фиксированном 
стремится к постоянной 
когда 
неограниченно возрастает. Выбирая 
достаточно большим, выражение
можно сделать сколь угодно малым. Это значит, что при достаточно больших значениях 
можно воспользоваться разложением
и записать
Остальпые члены разложения содержат множители более высокого порядка малости, чем 
Поэтому при любом фиксированном 
В силу непрерывности показательной функции
Равенство (3.73а) как раз и является искомым результатом. Для любой плотности распределения вероятностей 
характеристическая функция 
нормированной суммы 
одинаково распределенных случайных векторов 
с нулевыми средними значениями стремится 
Эта предельная функция зависит только от матрицы ковариации 
Заметим, что при 
равенство (3.73а) сводится к равенству
что совпадает с результатом (2.178) одномерной центральной предельной теоремы.
