ПРИЛОЖЕНИЕ 8А. ТЕОРЕМА ОТСЧЕТОВ

Одна из формулировок теоремы отсчетов состоит в том, что любая функция преобразование Фурье которой существует и равно нулю вне области может быть представлена равенством

Здесь «интерполяционная функция»

является импульсным откликом идеального прямоугольного фильтра с передаточной функцией

Доказательство этой теоремы является интересным упражнением на преобразование Фурье. Следуя Вудворду [85], заметим, во-первых, что периодическая последовательность единичных импульсов, изображенная на временной оси фиг. 8А.1, а, может быть записана в виде

где

является периодической импульсной последовательностью, изображенной на оси частот фиг. 8А.1, б. Равенства следуют из того, что двухсторонний ряд Фурье для имеет вид

(кликните для просмотра скана)

где период и для всех k

Так как интегрирование равенства дает правую часть равенства то можно рассматривать как пару функций, связанных преобразованием Фурье.

Далее, отметим, что, согласно фиг. восстанавливается, если сначала свернуть с и затем результат умножить на

Так как свертке на времепнон оси соответствует умножение на оси частот» то обратное преобразование Фурье обеих частей равенства дает

Меняя порядок интегрирования и суммирования, получаем

что и завершает доказательство.

Через интерполяционную функцию с единичной энергией

равенство записывается следующим образом:

Напомним, что, как отмечалось в разд. 8.1, функции являются ортонормальными.

Обсуждение. Условие, состоящее в том, что равно нулю вне интервала является весьма существенным при доказательстве теоремы отсчетов. Если бы это условие не удовлетворялось, то свертка вызывала бы перекрытие спектров одной частотной полосы ширины с соседней, как показано на фиг. 8А.3. Возникающие в результате этого искажения называются «перехлестыванием».

В силу того что функции, идеально ограниченные по полосе, физически нереализуемы, при использовании отсчетов в принципе всегда возникает некоторое перехлестывание. С практической точки зрения, однако, эти искажения становятся пренебрежимо малыми, когда по существу ограничена по полосе и период отсчетов подобран разумно. Рассмотрим, например, функцию и спектр изображенные на фиг. 8А.4. Если определить

(кликните для просмотра скана)

то с помощью фиг. 8А.3 и теоремы Парсеваля получим

где сумма со штрихом не включает Если ведет себя достаточно хорошо, то можно найти такую постоянную В, что

Это значит, что дает хорошее приближение к когда интервал между отсчетами выбирается достаточно малым, так чтобы:

Дальнейшее приближение к которое обозначим через можно получить, если устранить в все слагаемые, для которых больше, чем некоторое целое число

В силу ортонормальности функций — получаем

Таким образом, является хорошим -мерным приближением к следовательно, к исходной функции если К выбрано достаточно большим для того, чтобы суммы, входящие в правую сторону равенства также были много меньше энергии

Для любого низкочастотного сигнала с которым приходится иметь дело на практике, минимальные значения могут быть выбраны так, чтобы удовлетворялись оба неравенства Грубо говоря, это означает, что имеет эффективную ширину полосы и эффективную длительность Метод построения отсчетов полезен при получении конечномерного приближения к таким функциям. В приложении даются точные соотношения, описывающие минимальную размерность классов функций, ограниченных по времени и ширине полосы.