МУЛЬТИВЕКТОРНЫЕ КАНАЛЫ

В системе связи с «разнесенным» приемом, показанной на фиг. 4.6, в которой передаваемый вектор поступает на вход двух различных каналов, а приемник наблюдает выходы обоих каналов, полный вход приемника естественно описывать посредством векторов и связанных с каждым каналом в отдельности. Таким образом,

где

Апостериорная вероятность сообщения при [условии приема векторов равна

где . В этих обозначениях правило построения оптимального-решения формулируется так: полагаем тогда и только тогда, когда

максимальна при

Теорема о несущественных данных. Во многих практически важных случаях приемник может игнорировать часть данных, появляющихся на выходе канала. Рассмотрим, например, произвольный векторный канал (фиг. 4.7), по которому на вход приемника поступают два вектора Найдем условия, при которых приемник может пренебречь вектором не изменяя вероятности ошибки.

Оптимальное правило решения и в этом случае задается соотношением (4.226). Если теперь преобразовать правую часть этого соотношения в соответствии с правилом Байеса [равенство то увидим, что оптимальный приемник полагает при наблюдении тогда и только тогда, когда решающая функция

максимальна при Если при заданном статистически не зависит от то для каждой величины

А раз так, то знание того, что никогда не может повлиять на определение значения при котором выражение максимально и, следова тельно, оптимальный приемник может вообще игнорировать Таким образом, мы получили важную теорему о несущественных данных; оптимальный приемник может пренебречь вектором тогда и только тогда, когда

Равенство (4.25а) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы не учитывать Достаточное же условие следующее:

(кликните для просмотра скана)

Смысл и применимость этой теоремы могут быть проиллюстрированы на следующих трех примерах, в каждом из которых используется два аддитивных вектора шума и статистически не зависимых друг от друга и от Первый пример, показанный на фиг. 4.8, иллюстрирует ситуацию, в которой выполняется равенство (4.256): принятый вектор есть просто шум статистически не зависимый как от так и от и, следовательно, от

Соответственно

и, очевидно, является излишним.

Второй пример, показанный на фиг. 4.9, иллюстрирует случай, когда условие (4.25а) выполняется, а условие (4.256) нет. Здесь имеются два векторных канала, следующих друг за другом, и нриемник, которому доступен как оконечный выходной вектор так и промежуточный вектор Поскольку является результатом искажения и, следовательно, зависит от только через посредство интуитивно чувствуется, что не содержит информации об такой, какой уже не было бы в Это можно доказать формально, заметив, что поскольку то при заданном вектор зависит только от шума который от не зависит. Таким образом, для всех

Условие (4.25а) удовлетворяется, и по теореме о несущественных данных величина не существенна для оптимального приемника.

Третий пример показан на фиг. 4.10. Он относится к случаю, когда идеальный приемник не может игнорировать Имеем

Эта величина действительно явно зависит от Следовательно, условие (4.25а) не выполняется и не является несущественным, несмотря даже на то, что не зависят друг от друга. Это легко понять, поскольку знание обеспечивает хорошую оценку и, следовательно, если (в предельном случае) такова, что с большой вероятностью шум очень мал по сравнению с

Теорема обратимости. Важным следствием теоремы о несущественных данных является теорема обратимости, которая устанавливает, что

Фиг. 4.11. Введение между каналом и приемником обратимой операции Операция, обратная обозначена через Например, может представлять гобой прибавление, вычитание фиксированного вектора а.

введение обратимых операций на выходе канала, как показано на фиг. 4.11, а, не влияет на минимально возможную вероятность ошибки. Операция является обратимой, если входной вектор (фиг. 4.11, б) может быть точно восстановлен по выходному . В этом случае, очевидно,

так что условие (4.25а) удовлетворяется. Поэтому вектором можно пренебречь, что и требовалось доказать. Другой вариант доказательства получим, заметив, что можно построить такой приемник для который сначала восстанавливает как показано на фиг. 4.11, е, а затем, преобразуя определяет