ПРИЛОЖЕНИЕ 8В. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ ТОГО, ЧТО ns(t) ПЕРЕСЕЧЕТ НУЛЕВОЙ УРОВЕНЬ ЗА КОРОТКИЙ ИНТЕРВАЛ ВРЕМЕНИ

Обозначим через через у. Далее, как показано на фиг. 8В.1, проходит через нуль, переходя от в течение интервала времени где тогда и только тогда, когда Таким образом, вероятность пересечения нулевого уровня при переходе от на интервале равна

Так как процесс образуется при прохождении через фильтр с передаточной функцией

то как так и у являются гауссовскими случайными величинами. Поэтому для того чтобы определить необходимо лишь подсчитать

Фиг. 8В.1. Условия, при которых происходит пересечение нулевого уровня в положительном направлении.

Так как на имеет ширину полосы то как так и не могут заметно измениться на интервале

В силу того что

сразу же получаем

и

Это значит, что

Этот результат будет использован в дальнейшем, (В общем случае не обязательно прямоугольного спектра мы получили бы

при условии, что интеграл в числителе сходится.) Для того чтобы найти заметим вначале, что

где через обозначен импульсный отклик дифференцирующего фильтра Положив -будем иметь

Но

откуда ясно, что

Это значит, что и поэтому

где гауссовские плотности распределения вероятностей, имеющие нулевые средние значения и дисперсии, соответственно задаваемые равенствами

Интегрирование в выполняется непосредственным образом, если мало. Так как быстро стремится к нулю при стремлении к бесконечности, то для достаточно малого получаем

Положив будем иметь

В силу симметрии вероятность пересечения нулевого уровня при переходе от также равна Таким образом, общая вероятность того, что пересечет нулевой уровень в каком-либо направлении за интервал времени приближенно равна

В случае произвольного (не обязательно прямоугольного) спектра вероятность может быть оценена с помощью подстановки равенства