СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Наблюдая случайные сигналы в реальном мире, мы часто замечаем, что интересующие нас статистические свойства являются относительно не зависящими от момента времени, когда началось наблюдение сигнала. Например, эмпирическое среднее последовательных наблюдений, проведенных с интервалом времени 1 сек друг от друга, слабо зависит от точного значения момента времени, в который проводится первое наблюдение.

Стационарным случайным процессом называется случайный процесс, все плотности распределения вероятностей которого не зависят от абсолютных значений времени (т. е. от начала отсчета времени). Таким образом, процесс является стационарным, если для любого конечного набора моментов времени и для любой постоянной величины Т

Используемые здесь обозначения были введены в (3.8).

Одним из следствий стационарности является то, что вероятность совокупности выборочных функций, которые проходят через «окна», изображенные на фиг. 3.6, равна вероятности совокупности выборочных функций, которые проходят через соответствующие сдвинутые во времени «окна». Однако эти совокупности не должны обязательно состоять из одних и тех же выборочных функций.

Во-вторых, из стационарности следует, что среднее по ансамблю может быть связано со всем процессом в целом, а не только со значением процесса, вычисленным в некоторый заданный момент времени. Например, о среднем значении или о втором моменте стационарного процесса можно говорить без указания точного момента наблюдения

Справедливость этих равенств непосредственно вытекает из определения (3.11). Для любых двух моментов наблюдения

и поэтому при любом

(кликните для просмотра скана)

Вообще, из основной теоремы о математическом ожидании [см. (2.126)] следует, что среднее значение для любой инвариантной относительно сдвига времени функции от значений стационарного процесса, измеренных в к моментов времени, не зависит от начала отсчета времени:

Простейшим примером стационарного случайного процесса является ансамбль сигналов порождаемых периодической функцией график которой приведен на фиг. 3.7. Величина является равномерно распределенной случайной величиной:

где Т — период функции . В качестве первого шага доказательства стационарности этого случайного процесса, который мы обозначим через покажем, что случайные величины, соответствующие значениям процесса в моменты времени и обладают одной и той же плотностью распределения вероятностей, не зависящей от

На фиг. 3.8 изображена выборочная функция соответствующая элементарному событию такому, что Случайная величина заданная на пространстве принимает любое значение из интервала в соответствии с этим случайная величина принимает любое значение из интервала Преобразование, связывающее изображено на фиг. 3.9.

Для того чтобы определить функцию распределения величины рассмотрим сначала событие где а выбирается так, как показано на фиг. 3.10, а. Вероятность этого события совпадает с вероятностью того, что принадлежит заштрихованному интервалу Таким образом,

где длина интервала

Затем рассмотрим событие где а выбирается так, как показано на фиг. 3.10, б. Очевидно, что это событие произойдет тогда и только тогда, когда принадлежит одному из двух интервалов длины соответственно. Таким образом,

Поскольку при любом событие может произойти только в одном из двух случаев, которые показаны на фиг. 3.10, а, б, то

Дифференцируя эту функцию по а, получаем

(кликните для просмотра скана)

Заметим, наконец, что вывод соотношения не зависит от выбора момента наблюдения и поэтому тот же самый результат должен получиться, если провести этот вывод для величины . Таким образом,

Доказательство стационарности процесса мы закончим рассмотрением плотностей распределения вероятностей случайных векторов

Из фиг. 3.8 ясно, что равенством однозначно определяется значение случайной величины и тем самым однозначно определяется выборочная функция процесса Таким образом, при условии величина которая будет наблюдаться в момент времени не является случайной и зависит только от и от разности моментов времени из фиг. 3.8 видно, что

Следовательно, плотность условного распределения

не зависит от начала отсчета времени. Аналогично при любых

где величины, задаваемые равенствами (3.15а). Отсюда немедленно вытекает, что при любом

Таким образом, показано, что стационарный процесс.

Метод рассуждения, примененный в предыдущем выводе, не ограничивается случаем функции изображающей простую наклонную, но может быть использован для любой периодической функции Определим случайный процесс как ансамбль функций где снова случайная величина, равномерно распределенная на интервале, длина которого равна периоду Т функции

Чтобы доказать стационарность случайного процесса приведем несколько менее подробно рассуждения, эквивалентные проведенным раньше. Введем для этого процесс, получаемый из в результате сдвига,

и случайные векторы

По определению процесс является стационарным, если для всех Т и всех наборов моментов наблюдения Эти функции

пределения равны, если

т. е. если вероятность совокупности выборочных функций процесса проходящих под произвольно заданными барьерами (фиг. 3.11), равна вероятности совокупности выборочных функций процесса проходящих под теми же барьерами. Из следующих рассуждений вытекает справедливость равенства .

Сначала отметим, что если определять по и Т при помощи построения, показанного на фиг. 3.12, то видно, что периодичность функции означает, что при любом из интервала являются совпадающими функциями. Итак, между выборочными функциями процессов имеется взаимно однозначное соответствие.

Далее, удобно выделить жирными дугами интервалы изменения соответствующие тем выборочным функциям процесса которые проходят под барьерами, изображенными на фиг. 3.11. Типичная ситуация иллюстрируется фиг. 3.13, а. Дуги могут быть также использованы (фиг. 3.13, б) для того, чтобы отмстить интервалы изменения соответствующие выборочным функциям процесса которые проходят под теми же самыми барьерами. Б соответствии с построением, приведенным на фиг. 3.12, отметим, что график на фиг. всегда получается из графика, изображенного на фиг. 3.13, а, поворотом дуг.

По определению (3.166) вероятность того, что принадлежит любой совокупности дуг, равна суммарной длине дуг, входящих в эту совокупность. Поскольку поворот не влияет на длину дуги, то справедливо равенство и

или

Этим равенством завершается доказательство стационарности процесса для любой периодической функции

Прямое обобщение предыдущих результатов получается при рассмотрении периодической функции от времени зависящей от совокупности параметров так что период Т функции не зависит от этих параметров. Рассмотрим процесс

где

является случайным вектором, а снова плотность равномерного пределения вероятностей на интервале Если случайные величины не зависят от т. е. если

то

Поскольку в силу равенства условная плотность не зависит от начала отсчета времени, то этим свойством обладает и плотность Выбирая период Т и число компонент вектора очень большими, можно получить таким способом широкий класс различных стационарных процессов.

В качестве примера применим этот результат к процессу, получающемуся из периодической функции если считать ее амплитуду и фазу

(кликните для просмотра скана)

чайными величинами:

Здесь, так же как и в случае соотношения можно выбрать

Полагая получаем

Из равенства (3.226) следует, что случайные величины и 0 статистически независимы и, значит, независимы также величины Более того, поскольку случайная величина 0 равномерно распределена на интервале то случайная величина равномерна распределена на интервале Наконец, поскольку при любом функция

периодична с периодом то из предыдущих рассмотрений следует, что случайный процесс является стационарным. В частности,

Легко проверить, что

Пример нестационарного процесса. Требование, состоящее в том, чтобы все случайные процессы, с которыми приходится сталкиваться, были стационарными, представляется слишком строгим. Простым примером нестационарного случайного процесса является ансамбль функций, определяемых как

где частота является случайной величиной с плотностью распределения вероятностей

Графики трех функций из этого ансамбля, для которых соответственно приведены на фиг. 3.14

Для доказательства нестационарности процесса достаточно заметить, что каждая выборочная функция из ансамбля

и поэтому плотность распределения вероятностей случайной величины полученной при наблюдении процесса в момент тождественно равна нулю для отрицательных значений аргумента, тогда как

Фиг. 3.14. Выборочные функции нестационарного случайного процесса.

плотность распределения вероятностей случайной величины полученной при наблюдении процесса в момент времени отлична от нуля только при отрицательных значениях аргумента. Очевидно, что и равенство не справедливо.