2.4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ

Уже отмечалось, что, хотя случайное явление непредсказуемо в деталях, некоторые свойства в средпем проявляют достаточную регулярность. Реальному эмпирическому среднему значению в математической модели теории вероятностей соответствует математическое ожидание случайной величины.

В качестве простого примера рассмотрим независимых бросаний обычной игральной кости, грани которой пронумерованы цифрами от 1 до 6. Пусть обозначает результат бросания. Тогда при любом принимает целые значения, заключенные между 1 и 6. Эмпирическое среднее значение получаемое в результате бросаний, определяется равенством

Суммирование в этом выражении можно провести следующим способом. Обозначим через число бросаний, в результате которых выпало у. Тогда, перегруппировав слагаемые, получим

где относительная частота результата определяемая соотношением (2.1).

Поскольку случайные величины, так что их значения точно непредсказуемы, то такими же являются и их эмпирические средние Однако если велико, то почти всегда можно наблюдать, что устанавливается около некоторого частного значения. В математической модели этому значению соответствует вероятность Таким образом, можно ожидать, что при больших значениях величина установится около значения , определяемого равенством

Величина называется математическим ожиданием случайной величины

Равенством (2.124) математическое ожидание определено для конкретного эксперимента бросания кости. В общем случае математическое ожидание случайной величины с плотностью распределения вероятностей определяется равенством

Заметим, что последнее соотношение переходит в соотношение (2.124), если

Рассматривая закон больших чисел, мы увидим, что величина является тем числом, к которому сходится эмпирическое среднее Математическое ожидание случайной величины часто называют также средним значением случайной величины и обозначают через

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОЖИДАНИИ

Во многих случаях приходится вычислять математическое ожидание случайной величины которая определяется посредством преобразования некоторого случайного вектора у:

где сопоставляет каждому -мерному вектору некоторое вещественное число. Хотя можно вычислить по формуле (2.125), найдя предварительно по плотности и преобразованию часто менее трудоемким оказывается использование теоремы о математическом ожидании, которая утверждает, что

Это соотношение может быть записано кратко как

Интуитивную уверенность в справедливости равенства (2.126в) можно укрепить, проследив приводимое ниже в общих чертах его доказательство. Разобьем вещественную прямую (на которой принимает значения случайная величина на большое число малых соприкасающихся, но не пересекающихся интервалов длины как показано на фиг. 2.37. Обозначим через интервал Тогда

Мы знаем, что вероятность события можно записать также, используя плотность , то

где Поскольку из определения события вытекает, что если то

Фиг. 2.37. Разбиение вещественной прямой на непересекающиеся соприкасающиеся интервалы.

где приближенные равенства выполняются при малом А. Суммируя по всем получаем

Последнее равенство вытекает здесь из того, что события не пересекаются и их объединение включает все [функция отображает каждое значение Р в некоторое вещественное число]. Для завершения доказательства теоремы следует перейти к пределу при .

В качестве примера использования теоремы (2.126) рассмотрим простейшее одномерное преобразопание Воспользуемся соотношениями (2.125) и (2.75):

Положим в первом интеграле и во втором интеграле.

Тогда

в соответствии с равенством (2.1266).

Итак, математическое ожидание случайной пеличины это некоторое число, определяемое отображением из на вещественную прямую и вероятностями, приписанными событиям из пространства Из соотношения (2.126) следует, что это число не зависит от того, задается ли явно или не явно с помощью и преобразования

Линейность. Одним из наиболее важных свойств математического ожидания является его линейность. Пусть х и у две случайные величины. Рассмотрим линейное преобразование

Для нахождения математического ожидания новой случайной величины z воспользуемся свойством (2.126):

Вычисляя интеграл по (3 в первом слагаемом и интеграл по во втором, получаем

или

Таким образом, можно трактовать как линейный оператор; другими словами, математическое ожидание некоторой из вешенной суммы случайных величин есть взвешенная сумма математических ожиданий этих величин:

Ото свойство не зависит от того, являются ли величины статистически независимыми.

Математическое ожидание произведения. Вообще говоря, математическое ожидание случайной величины, полученной нелинейным преобразованием случайных величин, например не равно результату применения этого преобразования к математическим ожиданиям; так, например, выражение

обычно нельзя упростить. Если, однако, статистически независимы, то распадается на множители и

Интегрирование можно проводить отдельно по и по в результате получаем

или

Итак, статистическая независимость случайных величин является достаточным условием для того, чтобы среднее значение их произведения было равно произведению их средних значений. Следует подчеркнуть, что обратное утверждение не верно; из равенства не следует обязательно статистическая независимость случайных величин