ПЛОТНОСТЬ МНОГОМЕРНОГО ГАУССОВСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Для того чтобы получить общее выражение для плотности совместного гауссовского распределения, рассмотрим сначала совокупность 
статистически независимых гауссовских случайных величин с нулевыми средними значениями:
В матричных обозначениях
где 
диагональная матрица
с обратной матрицей
и с определителем
Далее, рассмотрим (гауссовский) случайный вектор, полученный из 
с помощью обратимого матричного преобразования
Здесь 
обозначает то же самое, что в приложении 
Обратное преобразование определяется как
где В — матрица, обратная А:
Из равенства 
вытекает, что
где 
абсолютная величина якобиана преобразования 
определению 
элемент якобиана 
В соответствии с равенством (3.876)
Обозначив 
элемент матрицы В через 
можно записать
и
Мы пришли к выводу, что якобиан в точности совпадает с определителем матрицы В:
и не зависит от 
Подставляя пыражепия (3.86а) и (3.89г) в равенство 
, получаем
Последний шаг при выводе общего выражения плотности многомерного гауссовского распределения состоит в отождествлении некоторых
выражений. Так как 
и
то, используя равенства 
и 
получаем
Используя хорошо известные свойства определителей [43], состоящие в том» что
и что для любых двух квадратных матриц порядка 
откуда следует, что
или
получаем
В соответствии с этим плотность 
можно кратко записать как
Равенством 
и задается общее выражение плотности невырожденного совместного гауссовского распределения. Мы видим, что оно зависит только от вектора средних значений ту и матрицы ковариации 
То, что это наиболее общая форма плотности невырожденного гауссовского распределения, вытекает из утверждения, что любая невырожденная совокупность гауссовских случайных величин может быть получена путем матричного преобразования из совокупности статистически независимых случайных величин. Отметим, наконец, что поскольку функции 
связаны преобразованием Фурье, то правая часть выражения 
является обратным преобразованием Фурье для
В качестве примера плотности вида 
рассмотрим двумернук плотность с матрицей ковариаций
Тогда
и
Если 
, то
Эта плотность 
рассматривалась подробно в разд. 3.2.
