3.3. МНОГОМЕРНАЯ ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

Понимание приближенной математической модели профильтрованного импульсного шума становится более полным, если использовать многомерную центральную предельную теорему, которая для одной случайной величины сводится к центральной предельной теореме, рассмотренной в гл. 2. Доказательство этой теоремы основано на использовании совместной характеристической функции для совокупности к случайных величин

СОВМЕСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Определим как функцию, получаемую из плотности совместного распределения вероятностей преобразованием Фурье по каждому аргументу:

Используя матричные обозначения и теорему о математическом ожидании, можно записать это определение более кратко в виде

Если величины статистически независимы, то

Заметим, что является функцией от к аргументов: . Равенства не следует путать с равенствами выражением для характеристической функции суммы независимых случайных величин, которая является функцией только от одной переменной

Точно так же, как в одномерном случае, плотность совместного распределения вероятностей может быть получена из посредством обратного преобразования Фурье; в матричных обозначениях соответствующее равенство записывается как

Единственное существенное различие одномерного и многомерного преобразований Фурье заключается в количестве работы, необходимой для вычисления соответствующих интегралов.

Моменты. Совместные характеристические функции, используемые при доказательстве предельных теорем, применимы также при вычислении моментов. Эта возможность уже использовалась нами в случае одномерной характеристической функции. Общий -мерный случай является естественным обобщением одномерного. Прежде всего заметим, что если ввести комплекснозначную случайную величину

то в соответствии с определением

Если моменты существуют, то можно разложить в степенной ряд

Рассмотрим второе слагаемое в этом выражении. Из равенств (3.02а) следует, что

в это выражение входят только средние значения величин При выводе многомерной центральной теоремы мы будем рассматривать только случайные величины с нулевыми средними значениями. Поэтому и сейчас подробно рассмотрим только частный случай нулевых средних значений Обозначая. через 0 вектор, каждая компонента которого равна 0, получаем

Следовательно, второе слагаемое в выражении есгь Рассмотрим теперь третье слагаемое Так как

то после вычисления математического ожидания получаем

Для случайных величин с нулевыми средними значениями ковариация

Таким образом,

можно получить, вычисляя коэффициенты при в разложении в степенной ряд функции

Аналогично исследование и членов высшего порядка показывает, что коэффициент при любом слагаемом, содержащем в разложении функции в степенной ряд пропорционален соответствующему смешанному моменту Таким образом, все моменты, которые существуют, могут быть найдены путем разложепия функции в степенной ряд.

Матрица ковариаций. Запись выражения для в виде (3.62д) можно упростить, используя матричные обозначения. Вспоминая, что

двойная сумма является квадратичной формой [ср. ], можно записать

где матрица

Матрица называется матрицей ковариаций случайного вектора Так как при всех то матрица ковариаций симметрична относительно главной диагонали.

Матрице ковариаций принадлежит главная роль в многомерной центральной предельной теореме. Замечая, чтох)

можно записать матрицу в более компактной форме:

где математическое ожидание матрицы А с элементами определяется как матрица, элементами которой являются . В этих обозначениях, пользуясь тем, что

можно доказать [равенство непосредственно с помощью цепочки равенств