ПРИЛОЖЕНИЕ 7А. ОБЕЛЯЮЩИЕ ФИЛЬТРЫ

Фильтр в равенстве был определен с помощью общего метода, который всегда гарантирует, что оба фильтра физически реализуемы, если может быть записана в виде отношения двух полиномов :

В — множество комплексных корпей полинома стоящего в числителе и имеющего по предположению степень аналогичное множество для полинома стоящего в знаменателе и имеющего по предположению степень Множество является множеством нулей, а множеством полюсов функции Так как (спектральная плотность является действительной и четной функцией), то как нули, так и полюсы этой функции расположены симметрично относительно вещественной и мнимой осей; это показано на фиг. 7А.1. Удобно занумеровать корни так, чтобы нечетные корни имели положительную мнимую часть, а четные корни — отрицательную мнимую часть. Например, для спектральной плотности, определяемой равенством

Фиг. 7A.1. Корни

Нетрудно определить обеляющий фильтр Введем обозначения

и положим

Таким образом, числитель включает в себя полюсы из верхней полуплоскости, а знаменатель — нули из верхней полуплоскости.

Очевидно, что

так что к оказывается спектральной плотностью на выходе обеляющего фильтра.

Для спектра

Остается показать, что оба фильтра физически реализуемы. Рассмотрим передаточную функцию фильтра вида

Положив можно выразить характеристику фильтра через комплексную частоту в виде

Если имеет положительную мнимую часть, то полюс на -плоскости имеет отрицательную вещественную часть и находится в девой полуплоскости -плоскости.. Все корни знаменателей для обеих функций удовлетворяют этому условию положительности мнимой части. Поэтому все полюсы обоих фильтров попадают в левую полуплоскость -плоскости и, следовательно, оба они реализуемы. Это и значит, что фильтрация обратимая операция.

Корни лежащие на вещественной оси, всегда имеют четную кратность; это можно показать математически, если приписать последовательные индексы любому такому корню. Конечно, эти корни соответствуют резонансам без затуханий и не встречаются в практических ситуациях. Более существенное замечание состоит в том, что любая плотность с которой приходится сталкиваться на практике, стремится к нулю при Поэтому все физические цепи обязательно становятся емкостными на высоких частотах и идеальное обеление оказывается невозможным. Эта трудность разрешается использованием того факта, что фильтр должен обелить шум только в полосе частот, содержащей основную часть энергии, переносимой сигналом.