НЕСУЩЕСТВЕННЫЕ ДАННЫЕ
Предположим теперь, что на входы 
перемножителей на фиг. 4.16 подается не 
а принимаемый случайный процесс 
(см. фиг. 4.1). В этом случае выходы интеграторов, скажем
являются случайными величинами которые в совокупности составляют случайный вектор
Так как 
то
где
— случайный вектор с компонентами
Предполагается, что 
и, следовательно, 
статистически не зависят 
Если бы не было шумового вектора 
вектор совпадал бы с одним из векторов 
который фактически передавался. Но когда величиной 
пренебречь нельзя, это, конечно, уже неверно. Всегда, однако, справедливо то, что вектор 
сам по себе содержит все данные о процессе 
необходимые для оптимального приема переданного сообщения. Цель настоящего раздела — доказать этот важный факт.
Прежде всего заметим, что для непрерывного сигнала соотношение, соответствующее векторному равенству 
есть
где
Следующий шаг доказательства состоит в том, чтобы, используя эти случайные процессы, представить 
в виде
где
— случайный процесс, не зависящий от передаваемого сигнала. Из того, что 
в общем случае не равен тождественно нулю, вытекает, что шумовой процесс 
нельзя представить сколь угодно точно конечным набором ортонормальных функций 
В соотношении (4.45а) мы представили принятый сигнал 
в виде суммы двух сигналов 
причем первый из них полностью определяется вектором 
а второй не зависит от передаваемого сигнала. Покажем теперь, что оптимальный приемник может игнорировать 
и, следовательно, основывать свое решение только на векторе 
Заметим, что любое конечное множество временных отсчетов для сигнала 
скажем
зависит только от 
Так как это верно также и для 
то векторы 
совместно но зависят от 
Прежде чем применить теорему о несущественных данных [см. условие (4.256) и фиг. 4.8], заметим далее, что
Таким образом, оптимальный приемник может игнорировать 
при условии, что 
не зависит и от 
Так как случайный процесс полностью описывается статистическим поведением конечных совокупностей временных отсчетов, то весь процесс 
можно игнорировать всегда, когда 
статистически независимы для любого возможного конечного множества моментов отсчета 
Иными словами, случайным процессом 
можно пренебречь, если он статистически не зависит от 
Требуемое доказательство статистической независимости основывается на том факте, что как 
так 
являются результатом линейных операций — интегрирования, сложения, вычитания — над гауссовским процессом 
Поэтому 
являются совместно гауссовскими процессами, так что по аналогии с соотношением (3.130) любые два случайных вектора, полученные из 
соответственно, статистически независимы, если их ковариация
равна нулю для всех моментов времени 
. В частности, так как 
а следовательно, и 
являются процессами с нулевыми средними, достаточно показать, что
Из равенства (4.44в) следует
так что необходимо только доказать, что
Для того чтобы проверить (4.47в), заметим, что по определению 
и 
Интеграл можно вычислить, воспользовавшись равенством (3.1366):
Оценка суммы получается исходя из того, что
Таким образом,
Подставляя равенства (4.486) и (4.48г) в (4.48а), получим
Этим завершается доказательство статистической независимости 
Отсюда можно заключить, что вектор 
определяемый равенством (4.416), действительно содержит все данные, необходимые для оптимального определения 
в системе связи, представленной на фиг. 4.1.
