СРАВНЕНИЕ СХЕМ КВАНТОВАНИЯ

Применим результаты вычисления для оценки некоторых интересных схем квантования. Как обычно, мы предполагаем, что передаваемый сигнал искажается аддитивным белым гауссовским шумом.

Фиг. 6.19. Квантующее устройство для двоичного симметричного канала;

Двоичный вход, двоичный выход. Сначала рассмотрим случай, когда алфавит передатчика состоит только из двух возможных букв:

Сигнал на выходе согласованного фильтра приемника квантуется на два уровня, как показано на фиг. 6.19. Поэтому и общая диаграмма канала такая, как показано на фиг. 6.20, где

и

Это диаграмма переходных вероятностей двоичного симметричного канала (ДСК).. В силу симметрии этого канала оптимальным является выбор

Фиг. 6.20. Диаграмма переходных вероятностей для двоичного симметричного канала

Фиг. 6.21. Параметры Но и для случая передачи двоичными противоположными сигналами и симметричного квантования принятого сигнала на два и три уровня.

вероятностей Тогда из формулы (6.62б) получаем

График зависимости величины определяемой соотношением от отношения приведен на фиг. 6.21; там же приведены значения определяемые формулой для случая отсутствия квантования. Мы видим, что потери квантования составляют приблизительно 2 дб. Точнее, можно показать, что асимптотически при и, следовательно, при потери в децибелах равны

Двоичный вход, троичный выход. Получающееся за счет двоичного квантования ухудшение величины можно в значительной степени уменьшить, если использовать квантование принятого сигнала на три уровня. Для соответствующее квантующее устройство представлено на фиг. 6.22, а диаграмма результирующего канала — на фиг. 6.23. Имеем

и

где следующим образом зависят от порога квантования

Такой канал называется или каналом с нулевой зоной, или двоичным симметричным каналом со стиранием (сокращенно . В силу симметрии мы снова выберем . Тогда, учитывая соотношение (6.62б), получим

Величина даваемая соотношением является функцией от величины порога квантования Оптимальное значение порога (значение, максимизирующее может быть найдено для различных значений методом проб и ошибок; график зависимости оптимального значения порога

Фиг. 6.22. Квантующее устройство для двоичпого симметричного капала со стиранием;

Фиг. 6.23. Диаграмма переходных вероятностей для двоичного симметричного канала со стиранием.

Фиг. 6.24. Оптимальные значения порога для двоичного симметричного канала со стиранием.

от приведен на фиг. 6,24. График зависимости значений определяемых соотношением от При оптимальной величине порога представлен на фиг. 6.21. Мы видим, что потери по сравнению со случаем отсутствия квантования составляют приблизительно 1 дб. Отсюда заключаем, что при достаточно малых отношениях для которых передача последовательностями двоичных символов является достаточно эффективной, выигрыш от квантования более чем на три уровня оказывается небольшим. Отметим, что, как видно из фиг. 6.24, значение порога близко к оптимальному в этом практически интересном интервале значений .

Многоамплитудные входы. В системах связи с большим отношением сигнал/шум на измерение, использующих в передатчике многоамплитудный модулятор, квантование принятого сигнала также вызывает уменьшение величины При оценке этого уменьшения для данного входного алфавита и данного шага квантования в первую очередь необходимо определить в соответствии с фиг. 6.16 переходные вероятности Далее нужно подставить эти значения а также соответствующим образом выбранные значения в соотношение

Используем теперь эти соображения для анализа частного ансамбля систем передачи по каналу с аддитивным белым гауссовским шумом. В каждой системе ансамбля применяется модулятор с алфавитом, буквы которого равномерно расставлены на интернале и приемное квантующее устройство с постоянным шагом квантования, аналогичное изображенному на фиг. 6.25 для случая число уровней квантования равно числу передаваемых букв А.

Графики зависимости от отношения для , полученные с помощью вычислительной машины, приведены на фиг. 6.26. Вероятности значений букв в каждом случае выбирались равными Для сравнения с фиг. 5.18 перенесена верхняя огибающая соответствующих кривых для показателя при отсутствии квантования. Эта огибающая определяет потенциальные возможности канала при отсутствии квантования и оптимальном выборе

Из фиг. 6.26 видно, что оптимальное значение А зависит от величины Выбирая А (как функцию ) так, чтобы максимизировать В, можно сделать значение довольно близким к верхней огибающей кривых Необходимо помнить, однако, что уменьшениешага квантования увеличивает стоимость декодера. Поэтому желательно выбирать значение А не большим,

(кликните для просмотра скана)

чем это требуется для получения эффективной совокупности сигналов; для этого надо только позаботиться о том, чтобы было достаточно большим и не попало на участок кривой, где происходит алфавитное «насыщение». Выбрав А таким образом и равным А, видим, что во всей области значений общие потери на квантование составят приблизительно 2 дб.

Величина при малых значениях убывает с возрастанием А вследствие того, что распределение выбирается равномерным; например, если отношение меньше 5 дб и величина меньше на 5 дб. Эти потери почти целиком обусловлены тем, что при равномерном распределении средний квадрат длины вектора сигнала и, следовательно, средняя энергия сигнала составляют приблизительно [см. также и последующие рассулгдения]. Этих потерь можно избежать, оптимизировав при малых почти исключительно использовались бы лишь символы в итоге результирующая средняя энергия сигнала была бы в 3 раза больше. Если выбрать значения оптимальными и положить то величина при всех значениях будет монотонно возрастающей функцией от при она стремится к огибающей кривых, полученных для случая отсутствия квантования.

Передача без кодирования. Сравним теперь характеристики кодовых систем передачи с характеристиками систем передачи без кодирования. Если для передачи равновероятных сообщений берется А амплитудных уровней, равномерно расставленных между — и и если для принятия решений используется квантующее устройство с постоянным шагом, изображенное на фиг. 6.25, то результирующая вероятность ошибки равна

а скорость передачи

На фиг. 6.26 для каждого значения А указана величина скорости и отношение при которых вероятность ошибки системы без кодирования достигает значений Легко видеть, что при всех значениях А кодирование увеличивает эффективность использования энергии в пределах от 2 до 3 дб для и от 6 до 8 дб для

На первый взгляд может показаться, что кодирование в гауссовском канале с большим отношением сигнал/шум не очень эффективно. Разумно, однако, вспомнить, что, как мы выяснили при обсуждении центральной предельной теоремы, на «хвостах» распределения предположение о том, что статистика носит гауссовский характер, может оказаться очень грубым; в частности, вероятность исключительно больших шумов может быть на несколько порядков величин больше, чем для гауссовской модели. Сомнительно поэтому, что характеристики используемой в реальном канале системы передачи без кодирования на самом деле будут соответствовать приведенным на фиг. 6.26. Безусловно, что это сомнение до некоторой степени относится и к системам с кодированием. Однако в случае кодирования вывод о малой вероятности ошибки делается не исходя из рассмотрения одного выборочного значения шума, а на основе шумовой выборки большого объема. При этом вовсе не требуется, чтобы вероятность больших значений шума была мала для какого-нибудь одного выборочного значения. Поэтому характеристики системы передачи с кодированием гораздо менее чувствительны к поведению шумов на «хвостах» распределения, чем характеристики систем передачи без кодирования, что позволяет с большим основанием использовать гауссовскую аппроксимацию.