ПРИЛОЖЕНИЕ 7Б. ВЫПУКЛОСТЬ

Функция называется выпуклой на интервале если ее вторая производная удовлетворяет условию

функция является вогнутой на интервале если

Фиг. 7Б.1. (см. скан) Выпуклая и строго выпуклая функции на интервале .

Если в [или ] знак равенства не допускается, то является строго выпуклой (соответственно строго вогнутой). На фиг. а приведен график функции, выпуклой на , а на фиг. 7Б.1, б - график функции, строго выпуклой на

Теорема. Пусть — множество вещественных чисел, удовлетворяющих ограничениям

и

Пусть определяется равенством

Если является выпуклой на то

где

Если строго выпуклая функция, то в имеет место знак равенства тогда и только тогда, когда

Если вогнутая функция, то является выпуклой функцией и утверждение теоремы справедливо при замене неравенств на обратные. Поэтому будем рассматривать лишь выпуклые функции.

Доказательство. Так как функция должна быть непрерывной для того, чтобы существовала производная и так как любое множество расположено на замкнутом интервале то функция

должна принимать максимальное и минимальное значения при изменении Пусть строго выпуклая функция. Используя геометрические соображения, покажем, что принимает максимальное значение, когда для всех Предположим, что некоторое множество не удовлетворяет условию для всех и соответствует максимуму. В имеются по крайней мере две не равные друг другу точки, например Однако на основании фиг. 7Б.2 очевидно, что замена как так и на увеличивает не нарушая равенства Следовательно, предположение, что какое-либо множество не удовлетворяющее условию для всех соответствует максимуму, приводит к противоречию; это завершает доказательство неравенства

Подобное же рассуждение доказывает, что множество минимизирует что устанавливает справедливость неравенства необходимо лишь заметить, как это видно из фиг. что если , то уменьшается, если положить Если выпуклая функция, но не строго выпуклая, то не исключена возможность того, что будет на каком-либо отрезке представлять собой прямую линию. Если это так, то любой выбор в сумме равных К, для которых также лежат на том же самом отрезке прямой линии, будет соответствовать тому же самому максимуму.

Обобщение на случай положительных случайных величин требует песколько большего, чем простое изменение обозначений: в частности, при этом ограничение следует наложить на а не на Пусть, например, такая случайная величина, что

где заданное положительное число. Заметим, что

и х - положительное число. Это значит, что если является выпуклой функцией на интервале то

(кликните для просмотра скана)

Если строго выпуклая функция, то равенство справедливо тогда и только тогда, когда

Пример 1. В (7.386)

где а — положительная случайная величина. Так как функция

является строго вогнутой (это видно из фиг. 7Б.4), то

и равенство справедливо тогда и только тогда, когда с вероятностью единица.

ОБОБЩЕНИЕ НА НЕВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ

Обобщим здесь неравенство на невыпуклые функции. Рассмотрим функцию на интервале изображенную на фиг. На основе построим однозначным образом выпуклую функцию такую, что для всех из Построение начнем с начала координат; функции считаются совпадающими на участке от 0 до первой точки а, в которой прямая, касательная к является также касательной к в некоторой другой точке а (обозначим эту точку через ). Прямая линия, соединяющая представляет собой часть и далее процесс построения продолжается аналогичным образом. Этот процесс поясняется на фиг. 7Б.5, б.

Единственное исключение при этом построении будет, когда касательная к в начале координат проходит ниже значений для некоторых положительных значений аргумента. В этом случае первый отрезок является прямой, проходящей через начало координат и касающейся в некоторой точке Если возможны несколько точек касания, то выбирается такая точка, для которой наклон максимален (фиг. 7Б.5, в).

Так как является выпуклой функцией, то

где правое неравенство следует из

Часто требуется найти такую плотность с заданным средним значением которая максимизирует Покажем сейчас, что всегда существует плотность со средним значением для которой в точности равно Имеются два случая:

1. Если среднее значение таково, что то, положив получаем искомый максимум.

2. Если среднее эпачение таково, что то находится в интервале, в котором является отрезком прямой линии. Как было отмечено ранее, можно распределить на отрезке прямой линии, не изменяя значения . В частности, можно сосредоточить всю вероятностную меру в виде двух импульсов, расположенных в концевых точках а и прямой линии. В этом случае

и

Фиг. 7Б.5. (см. скан) Построение выпуклой верхней границы для .

где выбирается так, чтобы удовлетворялось условие

Пример Согласно (7.134),

где

Варьируя при условии нужно минимизировать границу , или, что эквивалентно, максимизировать

Фиг. 7Б.6. (см. скан) График минимизированной вероятности при передаче с -кратным разнесением.

где

а

Графики функции и выпуклой функции изображены на фиг. 7Б.6. Если среднее значение которое соответствует отношению общей средней получаемой энергии к шуму на одну ветвь разнесения чем примерно 3, то минимум получается, когда Если чем примерно 3, то минимум получается, когда некоторые равны нулю, а остальные приближенно равны 3. В последнем случае некоторые из возможных ветвей разнесения не используются.