4.5. ВЕРОЯТНОСТЬ ОШИБКИ

В разд. 4.3 мы видели, что проблема передачи одного из М заданных сигналов по каналу, в котором действует только белый аддитивный гауссовский шум, всегда сводится к проблеме передачи соответствующих векторов. В частности, напомним, что сигналы передатчика представляются М точками в -мерном пространстве и что подлежащая учету составляющая шума представляется -мерным случайным вектором со сферически симметричной плотностью распределения вероятностей

В соответствия с рассуждениями, приведшими к оптимальный приемник делит пространство сигналов на М непересекающихся областей решения любая точка относится к тогда и только тогда, когда

Выход приемника полагается равным всегда, когда принятый вектор

находится в Поскольку постановка задачи о векторной связи инвариантна относительно перехода к другим ортонормальным базисным функциям связывающим то вероятность ошибки не зависит от формы функций

В этом разделе мы оценим минимально достижимую вероятность ошибки равенство в котором для некоторых важных конфигураций векторных сигналов. Будем предполагать, что, за исключением случая все М априорных вероятностей одинаковы. В конце этой главы при обсуждении «полностью симметричных сигналов» приводятся доводы в пользу этого предположения с практической точки зрения.

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ НАБОРЫ СИГНАЛОВ

Наборы сигналов могут быть эквивалентны из-за идентичности соответствующих геометрических конфигураций, но, кроме того, наборы сигналов, имеющие различные геометрические конфигурации, также могут быть эквивалентны в отношении вероятности ошибки. Это можно понять, рассмотрев геометрию областей решений.

Поворот и сдвиг системы координат, На фиг. 4.27, а показан сигнал и соответствующая ему область решения В тех случаях, когда передается правильное решение будет принято тогда, когда попадет в Вероятность этого события не изменится, если и совместно сдвинуты в пространстве сигналов. Это следует в соответствии с соотношениями из того, что шум является аддитивным и его плотность распределения вероятностей не зависит от сигнала. Кроме того, поскольку сферически симметрична, на что указывают линии постоянного уровня для плотности вероятностей на фиг. 4.27, вероятность того, что попадет в не меняется также при повороте относительно Таким образом, можпо одновременно сдвинуть и повернуть, как показано на фиг. 4.27, б, не изменяя вероятности правильного решения

Сигналы с минимальной энергией. Хотя вероятность правильного приема инвариантна по отношению к сдвигу, это преобразование влияет на энергию, требуемую для передачи каждого сигнала: в общем случае из равенства а следует, что

Если допустимая пиковая энергия всех сигналов ограничена, скажем, величиной то векторы должны лежать внутри сферы радиуса как показано на фиг. 4.28. Несколько более слабое ограничение состоит в том, чтобы средняя энергия определяемая как

(кликните для просмотра скана)

была меньше некоторой фиксированной величины. Для данного расположения сигнальных точек среднюю энергию можно минимизировать, не меняя вероятности ошибки, если вычесть из каждого сигнала постоянный вектор а, выбранный так, чтобы сумма

была минимальной.

Способ выбора а становится очевидным, как только мы заметим, что выражение для в точности совпадает с выражением для момента инерции относительно начала координат системы из М материальных точек, в которой масса 1-й точки равна , а положение Так как момент инерции, вычисленный относительно центра тяжести системы, минимален, то а следует выбирать таким образом, чтобы в результате сдвига на а положение центра тяжести совпадало с началом координат. Для данного набора вероятностей и набора сигналов соответствующее значение а будет, следовательно, определяться равенством

Чтобы доказать это, заметим, что для любого другого сдвига, скажем получается, что

где последнее равенство следует из (4.74а). Средняя энергия увеличивается, если а. Если средняя энергия после сдвига на а все еще превышает допустимую величину, дальнейшее уменьшение ее возможно только посредством таких преобразований, как изменение радиального масштаба, что уже влияет на вероятность ошибки.