МОДЕЛЬ КАНАЛА С КВАНТОВАНИЕМ СИГНАЛОВ

На каждую компоненту сигнала передаваемого по каналу с аддитивным белым гауссовским шумом, накладываются статистически независимые гауссовские помехи. Поэтому, если алфавит передатчика, плотность распределения вероятностей компоненты (неквантованного) принимаемого вектора при условии имеет вид

Как показано на фиг. 6.15, квантующее устройство ставит в соответствие входной компоненте выходную компоненту последняя принимает любое вещественное значение, а лишь значения, равные буквам некоторого дискретного выходного алфавита Обозначим вероятность того, что примет значение при условии, что равно символом

Как показано на фиг. 6.16, величина для любого конкретного квантующего устройства равна интегралу от гауссовской плотности распределения по интервалу квантования. Совокупность вероятностей определяет вероятностные связи между алфавитом передатчика и выходным алфавитом квантующего устройства При малых величины называемые переходными вероятностями, удобно представить в виде диаграммы (фиг. 6.17, а), а при больших в виде матрицы (фиг. 6.17, б).

Компоненты вектора гауссовского шума, накладывающиеся на вектор сигнала в, статистически независимы. Если сигналы с выхода согласованных фильтров поступают на одинаковые квантующие устройства, то каждая компонента преобразуется независимо от других

(кликните для просмотра скана)

Фиг. 6.17. Представление переходных вероятностей в виде диаграммы и матрицы. Матрица; сумма элементов каждой строки равиа единице. Для наглядности на диаграмме опущены некоторые возможные переходы.

компонент и это преобразование описывается переходными вероятностями Поэтому, если

то

Здесь каждый символ может принимать любое значение из алфавита передатчика , а каждый символ может принимать любое значение из выходного алфавита квантующего устройства Например, если

то в соответствии с соотношениями и

ВЫЧИСЛЕНИЕ R0

Теперь можно вычислить верхнюю оценку для средней вероятности ошибки ансамбля систем связи с приемниками, использующими предварительное квантование сигнала. Предположим, что векторы связей для кодеров с проверкой на четность являются РР-векторами и статистически независимы в ансамбле. Следовательно, сигналы попарно статистически независимы, т. е.

Кроме того, так как компоненты каждого сигнала статистически независимы, то

и для любой буквы алфавита передатчика можно записать, что

Совокупность вероятностей зависит от выбора величины и цифро-аналогового преобразователя, изображенного в схеме на фиг. 6.8.

Формулировка неравенства. Метод получения неравенства

аналогичен использованному раньше. Сначала запишем аддитивную оценку

В силу соотношений математическое ожидание величины в ансамбле систем связи не зависит от индексов Следовательно,

и

Так как для получения требуемой оценки необходимо лишь показать, что

Остается доказать справедливость неравенства (6.47в) и оценить Напомним, что вероятность ошибки при использовании для передачи одного из двух равновероятных сообщений сигнала а для передачи другого сообщения — сигнала Пусть два вектора, компоненты которых принимают значения, равные значениям букв алфавита передатчика а у — вектор, компоненты которого принимают значения, равные значениям букв алфавита приемника предположим, что

Если передатчик передал сообщение а приемник принял , то оптимальный декодер в рассматриваемом случае передачи двух сообщений совершает ошибку тогда и только тогда, когда

В эквивалентном виде условие ошибки можно записать так:

и, согласно

Упростим обозначения, положив

и

В рассматриваемом случае передачи двух сообщений оптимальный приемник по данным значениям вычисляет и полагает если Поэтому при ошибка происходит тогда и только тогда, когда

Усреднение по ансамблю. Мы уже знаем, что для рассматриваемого ансамбля кодов и шумов в канале случайные величины, причем принимают значения, равные значениям букв алфавита передатчика принимают значения, равные значениям букв выходного алфавита квантующего устройства Следовательно, однозначно определяемая заданием величин также представляет собой случайную переменную. В частности, учитывая соотношения и получим

Используя статистическую независимость величин и получим распределение вероятностей величин Имеем

Наконец, замечая, что в силу соотношений и (6.44б) случайные величины статистически независимы, заключаем, что представляет собой сумму статистически независимых одинаково распределенных случайных величин.

Верхнюю оценку величины получим методом, ранее использованным при выводе неравенства Чернова в гл. 2. Определив функцию единичного скачка соотношением

получим, согласно что

усреднение производится здесь в совместном ансамбле кодов и шумов в канале.

Вычисление верхней оценки. Прямое вычисление вообще говоря, невозможно. В рассмотренном в гл. 5 частном случае, когда квантование отсутствует, соответствующая верхняя оценка была выражена через функцию а не через функцию единичного скачка Подставив верхнюю оценку для функции в виде экспоненты, мы без труда провели усреднение. Аналогичный метод, который мы сейчас используем, основан на оценке сверху функции единичного скачка экснонентой Как показано на фиг. 6.18,

Подставляя в (6.556), получим

где — любая из одинаково распределенных статистически независимых случайных величин Полагая по определению

получаем

Фиг. 6.18. Верхняя оценка экспоненциальной функции единичного скачка.

При выводе соотношений мы использовали то обстоятельство, что случайные величины а следовательно, и случайные величины статистически независимы; это позволило нам заменить математическое ожидание произведения величин произведением их математических ожиданий. Фактически именно возможность такой замены и явилась причиной, по которой мы воспользовались экспоненциальной верхней оценкой

Неравенство (6.586) выполняется при всех . Выберем параметр А, таким образом, чтобы это неравенство было по возможности точнее. Согласно соотношениям и

где индексы принимают значения от 1 до а индекс от 1 до Таким образом, необходимо найти значение для которого

Так как правая часть соотношения (6.60а) симметрична по индексам и и его решением служит значение

удовлетворяющее, конечно, условию Если положить

то неравенство (6.586) примет вид

Подставляя соотношение (6.61б) в (6.47б), получим желаемый результат

Учитывая симметрию соотношения (6.61а) относительно индексов , выражение для можпо также записать в виде

Обсуждение. Неравенство представляет собой верхнюю оценку величины справедливую для любой совокупности вероятностей

Используя формулы, приведенные в приложении можно оптимизировать распределение вероятностей для любой заданной совокупности переходных вероятностей

Хотя вывод формулы был проведен со ссылкой на случай квантования сигнала на выходе канала с аддитивным белым гауссовским шумом, она остается верной независимо от того, как возникают переходные вероятности Для любого дискретного канала, описываемого диаграммой, представленной на фиг. 6.17, а, или матрицей, изображенной на фиг. сообщения, общее число которых равно можно передавать сигналами компоненты которых принимают значения, равные значениям букв в алфавите эти сигналы можно генерировать при номощи кодеров с проверкой на четность. Искажение компонент вектора происходит независимо с переходными вероятностями среднее значение вероятности ошибки в ансамбле ограничено неравенством