ПОЛНОСТЬЮ СИММЕТРИЧНЫЕ СИСТЕМЫ СИГНАЛОВ И АПРИОРНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Почти во всех рассмотренных нами случаях, в частности, для бинарных ортогональных, симплексных, биортогональных сигналов и сигналов, расположенных в вершинах гиперкуба, вычисление вероятности ошибки сильно

упрощается благодаря полной симметрии геометрической конфигурации множества Под полной симметрией мы понимаем свойство, состоящее в том, что любая перенумерация сигнальных точек может быть осуществлена поворотом, сдвигом и(или) инверсией координатных осей. В противоположность таким сигналам сигналы, показанные на фиг. 4.34, не обладают полной симметрией.

При наличии полной симметрии условие

приводит к конгруэнтности областей решения и, таким образом, к что условная вероятность правильного приема не зависит от передаваемого сигнала:

Если такой приемник с конгруэнтными областями решения используется для приема сообщений, априорные вероятности которых не равны, то результирующая вероятность правильного приема

т. е. такая же, как и в случае равновероятных сообщений. Таким образом, помехоустойчивость приемника с конгруэнтными областями решения инвариантна по отношению к действительной статистике источника. [Конечно, если статистика источника известна заранее, вероятность правильного приема может быть увеличена за счет применения приемника с неконгруэнтными областями решения, построенного в соответствии с соотношением

Инвариантность по отношению к вероятности сообщений может быть использована проектировщиком системы связи, которому редко заранее точно известна входная статистика источника. Если передатчик проектируется для полностью симметричных сигналов, а оптимальный приемник строится в предположении, что все сообщения равновероятны, то будет выполняться равенство (4.106) и вероятность ошибки для этой системы может быть определена независимо от источника сообщений, для передачи которых она предназначена. Приемник, являющийся оптимальным для приема равновероятных сообщений, называется приемником максимального правдоподобия. [См. также рассуждения, связанные с выражением ]

Минимаксные приемники. Вышеизложенные соображения являются мощным аргументом в пользу того, чтобы принять в качестве исходного для проектирования предположение о том, что априорные вероятности сообщений равны. Еще более убедительно то, что спроектированный при таком предположении приемник является минимаксным. Этот термин мы сейчас определим.

При фиксированных передатчике и канале вероятность ошибки зависит только от приемника и вероятностей сообщений. Для данного приемника (при фиксированных передатчике и канале) вероятность ошибки зависит только от статистики источника сообщений и при некотором выборе этой статистики достигает максимальной величины. Это максимальное значение является удобным критерием качества работы приемника при отсутствии априорных сведений о вероятностях оно представляет собой гарантированный минимум помехоустойчивости, ниже которого параметры системы никогда не окажутся независимо от статистики источника сообщений, с которым она может быть связана. При таком критерии приемник, для которого максимальная величина оказывается наименьшей, представляется

наиболее приемлемым. Такой приемник называется минимаксным приемником.

Доказать, что приемник максимального правдоподобия является минимаксным, если обладают полной симметрией, очень просто. Во-первых, этот приемник обеспечивает вероятность ошибки, не зависящую от фактической величины вероятностей сигналов, с которыми он может использоваться. Во-вторых, по определению оптимальности любой другой приемник имеет большую вероятность ошибки при использовании равновероятных сигналов и, следовательно, должен иметь больший максимум. Этим доказательство завершается.